Écrivons en effet l'adjointe de QÇ

, , d^u. d-j. d-j. l dt d'^\

^^^' dxdy dx ' dy \' dx dy ) '

et soit u. son intégrale générale. D'après la proposition du n** 402, l'expression

sera une différentielle exacte. Introduisons la fonction suivante :

'88 LIVRE IV. — CliAP. VIII.

la valeur de Z satisfera, nous allons le montrer, à l'équation

dont elle sera l'intégrale générale.

Posons, pour abréger,

Comme on a

les relations auxquelles satisfont les X^ nous donneront immédiatement les suivantes :

On aura, en particulier,

(55) }^ Ox ^ ùy

D'après cela, si l'on difFérentie la valeur de Z, on aura, en tenant compte des relations précédentes.

(^a; dy Jmi dx dy

et, par suite.

La proposition que nous avions en vue est ainsi établie. Proposons-nous maintenant de reconnaître comment on déterminera la valeur de îjl correspondante à chaque valeur de Z.

Si, tenant compte des formules (38), on différentie successivement l'équation qui donne Z, on obtiendra une série de formules comprises dans le type suivant

(58) im — i,n — i}z = ^{m—i,n — i)fi7h,

OÙ l'on peut employer la fonction (m — i , n — i) la plus générale, et qui tient lieu par conséquent de m -\- n — i équations distinctes. Considérons deux de ces équations et d'abord la suivante :

Si on la différentie par rapport à .r, on trouvera

Prenons ensuite l'équation

àx'"-^ dx

et différentions-la par rapport àj^; nous trouverons

Si l'on joint les deux équations (09) et (60) aux ni-\- n — i équations (58), on forme un système qui peut être résolu par rapport aux/? 4- i inconnues ta et }x; et qui donne, en particulier, pour |jL une fonction linéaire de Z et de ses dérivées, prises jusqu'aux ordres m et n respectivement par rapport à a: et par rapport à^, c'est-à-dire une expression de la forme

(61) (ji = (m, n)z.

D'ailleurs, le système des équations considérées ne change pas lorsqu'on remplace Z par Z ^ 0:;^ à la condition de remplacer o-^

par 3-A 4- C; cela résulte de ce que les 3-^ sont des intégrales aux-

KJO