LIVRE IV

en A P. VIII.

quelles on peut toujours ajouter une constante. La valeur de [jl ne changera donc pas si l'on y remplace Z par Z + Cz^', par suite, elle devra s'annuler quand on y remplacera Z par z^-

Ainsi la valeur de [j. est cette expression (/n, n) qui est définie par la condition de s'annuler quand on y remplace Z par l'une quelconque des solutions particulières

La proposition que nous venons d'étudier peut donc être considérée comme le complément et l'inversion de celle que nous avons donnée au n° 400.

405. INous indiquerons l'application suivante. Soit (E) l'équation à laquelle satisfont les coordonnées x, y^ z, t d'un point d'une surface, considérées comme fonctions de o et pi. Soit (E') son adjointe, et désignons de même par (G), (G') les équations analogues relatives aux coordonnées tangentielles. Si U désigne la solution la plus générale de (G), l'intégrale générale de (E') sera l'expression (2, 2) définie par la condition de s'annuler pour U = «, v^ w, />, c'est-à-dire

àU

dp-'

dpi

et, réciproquement, l'intégrale U s'exprimera au moyen de l'intégrale générale de (E') par une équation de la forme

OÙ o-<, 0-2, 0-3, 0-4 désignent quatre intégrales semblables à celle qui est définie par la formule (02). Il y aura des relations analogues entre (G') et (E).

Si donc, conformément aux remarques présentées à la fin du

Chapitre IV, on regarde l'intégration d'une équation et celle de son adjointe comme deux problèmes équivalents, on voit que les deux équations auxquelles satisfont, soit les coordonnées tangentielles, soit les coordonnées ponctuelles, s'intégreront en même temps, et que, si Vune des équations s intègre par la méthode de Laplace, il en sera de même de Vautre.

igî» LIVRE IV. — CIIAP. IX.