CHAPITRE IX

LES ÉQUATIONS HARMONIQUES. APPLICATIONS ANALYTIQUES DES PROPOSITIONS DÉVELOPPÉES DANS LES DEUX CHAPITRES PRÉCÉ- DENTS. .

Définition des équations et des solutions harmoniques. — Groupes de quatre solutions liées par une équation quadratique. — Application du théorème de M. Moutard au cas où l'on emploie une solution particulière harmonique. — Théorème relatif aux équations linéaires de la forme

— D'une telle équation, lorsqu'on sait l'intégrer pour toutes les valeurs de h, on peut déduire une infinité d'autres équations de même forme que l'on saura intégrer pour toutes les valeurs de h. — Caractère distinctif de toutes les équations linéaires qui dérivent ainsi d'une même équation. — Étude d'une transformation particulière qui permet de passer d'une équation harmonique à d'autres équations harmoniques. — Formule générale permettant de rattacher à toute solution non harmonique d'une équation harmonique une infinité de solutions particulières nouvelles. — Reconnaître si une équation à invariants égaux est une équation harmonique. — Ce problème est équivalent au suivant : Reconnaître si l'élément linéaire d'une surface est réductible à la forme

ds'-= [ ? ( w ) — ^ ( t^ ) ] ( dW -h dv').

— Application à l'équation d'Eulcr. — Étude d'une équation aux dérivées partielles plus générale. — Indication de quelques sujets de recherche auxquels conduisent les propositions développées dans ce Chapitre.

406. Nous avons développé, dans les deux derniers Chapitres, différentes propositions générales relatives aux équations linéaires du second ordre. Il ne sera pas inutile d'indiquer, dès à présent, quelques-unes de leurs applications. Nous commencerons par celles qui se rapportent à l'analyse, et nous envisagerons plus spécialement les équations de la forme suivante

où les symboles cp et d/ représentent deux fonctions quelconques.

Ces équations, que nous désignerons, pour abréger, sous le nom d'équations harmoniques, jouent un rôle capital en Physique mathématique (*). Elles ont la propriété d'admettre une infinité de solutions particulières de la forme

Si l'on exprime, en effet, qu'une telle fonction satisfait à l'équation proposée (i), on est conduit à la relation

Il suffira donc de prendre pour/" et/i des solutions quelconques des équations linéaires

(') ÉUqI donnée une équation de la forme

Ox' ^ ôx ' ay' "' dy '

où P, Q. R désignent des fonctions quelconques de x et P,, Q,, R, des fonctions quelconques de y, on peut toujours, par de simples quadratures, la ramener à la forme (i). Si l'on pose, en effet,

rdx r dv ( dx r dy

j vp ^ \^, J v^p -j v'p;

l'équation (a) se transforme en une équation

d^z dz ^ âz

a - — ^~ o^ cz = o.

^•'^\'^J\ t^-^i ày^

qui a ses invariants égaux et peut être ramenée à la forme

d'z , dxdy ~

Le calcul, qui n'offre aucune difficulté, conduit à une équation harmonique. On peut aussi ramener l'équation (a) à la forme réduite

mais cette forme n'est nullement typique et peut être obtenue d'une infinité de manières.

D. — II. l3

ig4 LIVRE IV. — CHAP. IX.

OÙ h désigne une constante quelconque. A chaque valeur de li correspondent deux fonctions /(.r H- j^), deux fonctions/, (.r — y) et, par suite, quatre solutions particulières de l'équation proposée. Si l'on désigne par A et B les deux valeurs de /, par A, et B, celles de/,, les quatre solutions seront

et seront liées par la relation quadratique

Ainsi les équations harmoniques admettent un nombre illimité de groupes de qualité solutions satisfaisant à une équation homogène du second degré à coefficients constants.

Nous désignerons également sous le nom de solutions liarmoniques une quelconque des solutions que nous venons de définir et qui sont le produit d'une fonction de :r H-/ par une fonction de X — y.