Soit
une telle solution. On peut évidemment l'employer pour appliquer la méthode de M. Moutard et passer de l'équation (i) à une équation nouvelle qui sera
Z âx ày ùx dy
Le calcul du second membre se fait très simplement de la manière suivante. Nous avons déjà remarqué que l'on a
w dxdy f /i
Si l'on change /en -p et / en -j-, il viendra, sans nouveau calcul,
Ainsi l'équation nouvelle que l'on obtient par l'emploi de la
LES ÉQrATIOXS IIARMOXIQUES. igS
solution (1)
conserve la forme de réqiiation dont elle dérive; elle est encore une équation harmonique.
Nous avons vu que l'on passe d'une solution z de l'équation (i) à la solution correspondante de l'équation (4) à l'aide de la formule
proposons-nous de rechercher ce que deviennent les solutions harmoniques de la première équation.
Soit
une telle solution de l'équation proposée. Les équations qui définissent 9, Ô| pourront être mises sous la forme suivante
h désignant une constante quelconque. Si l'on porte la valeur de ;: dans la formule (5), il viendra
/^iZ=/[/i0i(/6'-Ô/')rf(:r-^)-i-/6(/,6,/;e,)^(x-^^)].
La quadrature qui ligure dans le second membre peut être effectuée dans tous les cas. On déduit, en effet, des formules ((j)
/e= L(/e'-e/'), A^, = \(A^\-^Jiy.
et, si l'on porte les valeurs de /9, /, O^ dans l'équation qui donne Z, on aura
//iZ = ^/[(/e'-e/')rf(/ie'.-/;eo-^(/,e,-e,//)rf(/e'-e/')],
ou, en pégligeant la constante /«,
//iZ = (/e'-6/)(/,6-6,/;),
igG LIVRE IV. — CHAP. IX.
On obtient donc pour Z une solution qui est le produit d'une fonction de x -+- y par une fonction de x — /, c'est-à-dire qui est aussi harmonique.
408. Il est aisé de vérifier le résultat précédent. Si l'on introduit en effet la fonction
on reconnaît par un calcul facile que l'on a
On est ainsi conduit au curieux théorème d'Analyse suivant : Étant donnée l'équation différentielle du second ordre
(lo) ^=[?(0 + /0r:
supposons qu ''on sache V intégrer pour toutes les valeurs de h. Soit f{t) une solution de cette équation, correspondante à une valeur particulière de h, par exemple h = ht. On saura aussi intégrer, pour toutes les valeurs de /i, V équation
Si y désigne la solution générale de V équation (lo) correspondante à une valeur déterminée de h, différente de ht,
(.2) y—yj
sera la solution générale de V équation (ii) pour la même valeur de h.
Cette proposition, qu'il estaiséde vérifier directement('), permet, évidemment, de rattacher à toute équation de la forme (lo), que
(') On trouvera la démonstration directe dans une Note de l'auteur Sur une proposition relative aux équations linéaires, insérée aux Comptes rendus (l. XCIV, p. i456; 1882).
l'on sait intégrer pour toutes les valeurs de A, une suite illimitée d'équations différentielles de même forme que Ton saura aussi intégrer pour toutes les valeurs du paramètre //. Chaque passage d'une équation à la suivante introduira deux constantes arbitraires nouvelles; en général, les équations successives s'éloigneront de plus en plus de la forme initiale et deviendront de plus en plus compliquées. 11 v a cependant des cas exceptionnels dans lesquels la forme de l'équation se conserve lorsqu'on choisit convenablement les solutions particulières au moyen desquelles s'effectue le passage de chaque équation à la suivante.
Prenons, par exemple, comme équation initiale
(i3) y=hy\
si l'on fait h = o, on a la solution on est donc conduit à l'équation
Celle-ci admet à son tour, pour h = o, la solution
y^t^-\ on saura donc intégrer l'équation
En continuant de celte manière, on parviendra évidemment à
l'équation
V m( m — il ,1
qui est trop connue pour que nous y insistions.
Reprenons l'équation initiale (i3). Pour h^ — i, elle admet la solution sinf ; on saura donc intégrer l'équation.
Pour des valeurs particulières de h, cette équation admet les
li)8 LIVRE IV. — CH A P. IX.
solutions sin^^, sin-^cos^. En les employant et en poursuivant l'application de la méthode, on parviendra successivement à des équations de la forme
ni {m — 1 ) n{n — i )
où m et n désignent deux entiers. On peut établir ce résultat en toute rigueur de la manière suivante.
Si l'on prend
l'équation précédente admet la solution particulière
f{t) — ÛV\"H cos"^.
En employant cette solution particulière, on obtiendra l'équation nouvelle
ou
C'est l'équation précédente dans laquelle m et n sont changés en m + I el n -+- 1 . On peut donc intégrer cette équation par voie de récurrence toutes les fois que m et n sont entiers ; et, si l'on désigne par ym,n la solution générale de l'équation (14)7 il faudra employer la formule
.r/n+i,>i+i = J/«,/i— ('H cot^ — n tangt)y,„^n-
On a évidemment
L'emploi de ces formules permet d'obtenir l'intégrale pour toutes les valeurs entières de m et de n sous la forme
l\;/,« et Q,«,// étant des polynômes entiers par rapport à tang^, cot^ et \/h.
Ici encore nous rencontrons des équations bien connues, quoi-
LES ÉQUATIONS HARMONIQUES. igg
qu'on les étudie rarement sous la forme précédente. Si l'on détermine, en effet, les constantes a, ^, v par les formules
la solution générale de l'équation (i4) sera
r = sin'^tcos'^tFix, 3, y, sin«f),
F désignant la série hypergéométrique de Gauss, ou toute autre solution de l'équation du second ordre par laquelle elle est déterminée (' ).
409. Considérons maintenant, d'une manière générale, toute équation de la forme
que l'on saura intégrer pour toutes les valeurs de h ; et proposonsnous de rechercher un caractère précis permettant de reconnaître toutes les équations qui en dérivent par la méthode que nous venons d'exposer. Il est évident que toutes ces équations admettront une intégrale générale de la forme
(i6) - = Av-By,
oày désigne l'intégrale générale de l'équation précédente, A et B des fonctions de t qui sont entières par rapport à h. Nous allons établir la proposition réciproque et montrer que, si l'équation
(') Il est vrai que, si l'on présente sous celte forme la solution générale de l'équation (i4), oa n'aperçoit pas immédiatement pourquoi elle s'intégre lorsque m et n sont entiers. Pour établir ce résultat, il faut employer plusieurs des formules que Kummer a données et qui permettent de transformer la série hypergéométrique.
admet une intégrale de la forme (i6), A et B étant d'ailleurs des fonctions entières de /?, elle dérivera nécessairement de l'équation (i5) par la méthode que nous avons exposée.
Substituons, en effet, dans l'équation (17) la valeur (16) de z.
En égalant à zéro les coefficients de JK5 -7-' on ti'ouvera les deux équations
j A"+A(cp-^) + 2B'(cp+/i)H-Bcp'=o, ^' ^ l 2A'+B(«f — 4>) + B"=o,
d'où l'on déduira aisément que B ne saurait être, par rapport à /t, d'un degré supérieur à celui de A.
Soient maintenant jki, JK2 deux intégrales quelconques de l'équation (i5) et^ri, z-2 les intégrales correspondantes de l'équation (17) déterminées par la formule (16). Un calcul facile donnera
Le premier membre devant être constant, ainsi que
on voit que la fonction
A2 ^ AB'— BA'— B2'f - B2 A
se réduira à une constante. Cette constante est d'ailleurs une fonction de h\ car le terme qui contient la plus haute puissance de h ne se réduit avec aucun autre et se trouve, soit dans A^, soit dans B-/i, suivant que A est de degré supérieur ou égal à celui de B. On peut donc écrire
(19) A24- AB'— BA'— B2((p + A) = F(A),
F(/i) désignant un polynôme entier et à coefficients constants.
Soit h = hi une racine de ce polynôme. On peut admettre que l'hypothèse h = hi n'annule pas à la fois A et B. Sans cela il n'y aurait qu'à diviser Ay -f- By' par h — hi et à reprendre le raisonnement précédent. Substituons partout A, à h, et soient A, et Bj les valeurs que prennent A et B. Si l'on désigne par jk» une solution particulière de l'équation (i5) où l'on a remplacé h par A,, la
LES ÉQUATIONS H ARliOXIQCES. ÎOl
fonclîon correspondante
qui ne sera pas nulle si l'on a choisi convenablement y, , sera une solution de l'équation
et, par suite, si l'on applique le théorème général du n" 408, la fonction
sera l'intégrale de l'équation
qui est de même forme que l'équation (17). Nous allons ramener la valeur de Z à la l'orme (16) et examiner quel est le degré de ses deux termes par rapport à A. ' La valeur de Z peut s'écrire
En développant et tenant compte de l'équation (10), on la ramène à la forme
Z = Aoj'-^Boy, où 1 on a
< A,^,^ B,y,)Ao= [A'A, -h BAi(o -^ A) - AA', - AB,(o -+- A,)]^, + (B, A'- BB.vç. -^ A) - AA, - AB;)y ,
(A,^,-v-B,y,jBo= [AiA + A.B'-BA'i — BB,(=^A,)]^i -1- (AB, + B,B — BAi — BB'i)y,.
Remarquons d'abord que ces valeurs de Ao, B^ s'annulent pour h = h,; on le reconnaît immédiatement en remplaçant A, B, h par A,, B|, A, et tenant compte de la formule (19) où l'on aura fait h = ht. On pourra donc diviser les valeurs de Aq, Bq par h — hf et, par conséquent, réduire d'une unité leur degré par rapport à h.
Cela posé, supposons d'abord que A et B soient d'un même
degré n par rapport à h. Le coefficienl A^ sera au plus de degré /i + i; mais ce degré se réduira à n après la division. Le degré de Bo sera n et, après la division, il se réduira au plus k n — i.
Supposons maintenant que A soit du degré n et B de degré inférieur. Le coefficient Aq sera du degré n au plus, ainsi que B^; et par suite, après la division, ils se réduiront l'un et l'autre au degré n — i .
Par conséquent, si les degrés de A et de B sont d'abord n et /i, on les réduira par la première opération à /i et à /i — i, puis à Il — I et à n — I, et ainsi de suite. On voit donc que l'on finira par parvenir à une équation pour laquelle le degré de A et de B par rapport à li sera zéro.
Les formules (i8) nous donnent alors
2A'-+- B(cp — (^) = o, A"-t- A(cp — ti;j -+- Bcp'= o.
Il est très aisé de résoudre ces équations et de montrer qu'elles conduisent, soit à l'équation (i 5) pour B^ o, soit, pour B = i , à celle que l'on obtient par la première application de la méthode. La proposition que nous avions annoncée est ainsi établie.
Proposons-nous, par exemple, de caractériser les équations que l'on peut faire dériver en nombre illimité de l'équation (i3). D'après la proposition précédente, leur intégrale générale sera de
la forme
f{t,h)y+Mt,h)y\
f el fi désignant deux polynômes entiers en h. Si l'on remplace j' par sa valeur, on trouvera
F et F) désignant des polynômes entiers par rapport à \Jh. Ainsi ces équations sont les seules qui admettent des intégrales de la forme
F étant entier par rapport à \Jli ( * ).
(') On pourra consulter une Note sur les équations différentielles linéaires du second ordre publiée en iS'jo par M. Moutard et insérée aux Comptes rendus,
410. Revenons aux propositions générales que nous avons établies; elles peuvent être résumées comme il suit : à toute équation harmonique on peut rattacher une suite illimitée d'équations harmoniques qui s'intégreront toutes en même temps que l'équation initiale. De plus, si l'on sait déterminer les solutions harmoniques de la première équation, on pourra connaître aussi, sans aucune intégration, les solutions harmoniques de toutes les autres. Ces résultats, que nous avons déduits du théorème de M. Moutard, peuvent être complétés par l'emploi de lune des transformations générales définies au n° 399.
Etant donnée l'équation
dxOv
nous avons vu (n° 399) qu'il existe une infinité de fonctions de la forme
dx oy
satisfaisant également à une équation du second ordre : cherchons s'il est possible de déterminer les fonctions H. P, Q de telle manière que l'équation nouvelle soit de la forme
dx Oy
La substitution de la valeur de ;, dans cette équation nous donne un résultat de la forme
L ox ôy ox oy J \ oy ox ôy J ax
' \dx ' dxdy ^ ] dy ' dy dx*-'^ Ox dy*- ~ ''^ ~' '' ôx '^^^dy'
Celte relation doit être vérifiée identiquement : il faut donc que Ion ait d'abord
ap aQ
ôy~~di~^'
(t. LX.W, p. 729). Le savant géomètre y établit, par une méthode toute différente, un résultat équivalent à celui que nous venons d'énoncer en dernier lieu, relativement aus équations différentielles qui dérivent de l'équation initiale y' = o.
ao4 LIVRE IV. — CIIAP. IX.
c'est-à-dire
Ne nous arrêtons pas au cas, dont l'analyse est facile, où l'une des fonctions 'f (-2?), '\>{y) serait nulle; on peut alors, en prenant comme nouvelles variables a: et y les fonctions
r dx r dy
réduire P et Q à l'unité. Supposons donc
P = i, Q = i; nous aurons encore à résoudre le système
