NOTIONS GÉNÉRALES SUR LES CONGRUENCES

déterminer des valeurs de x^ y, z satisfaisant aux deux équations (^) en même temps qu'à leurs dérivées prises par rapport à fl,

df df db 0^ ^ do db

da db da ' Oa ôb da

JT

Si l'on élimine entre ces équations -j- ? on retrouve l'équation (4) qui caractérise les points focaux. Donc :

Si Von veut assembler des courbes de la congruence de telle manière qu^elles aient une enveloppe, cette enveloppe sera nécessairement formée par des points focaux de ces courbes et sera, par conséquent, située sur une des nappes de la surface focale.

D'autre part, si Ton élimine x, y, z entre les équations (7 ) et (8 ), on sera conduit à une relation de la forme

ce qui montre que la solution complète du problème exige, en général, l'intégration d'une équation différentielle du premier ordre.

Les propositions établies précédemment conduisent encore à ce dernier résultat. Nous avons reconnu que, si des courbes de la congruence admettent une enveloppe (E), celte enveloppe (E) doit se trouver sur une des nappes de la surface focale. Mais il est clair qu'elle doit encore satisfaire à une autre condition : il faut qu'en chacun de ses points elle soit tangente à la courbe de la congruence qui vient loucher en ce point la surface focale. Cette dernière condition, qui est évidemment nécessaire et suffisante, équivaut à une équation différentielle dont Tintégration permettra seule de résoudre complètement le problème. Cette équation différentielle sera du premier ordre et du premier degré pour chacune des nappes de la surface focale; mais, si ces nappes ne peuvent être séparées analytiquemenl, on aura à considérer une seule équation du premier ordre, dont le degré sera égal au nombre des nappes de la surface.