Â7. =(>M-A)II

àx dy Ox (Jy '

cm an

dx dy ^

On voit que H doit être une fonction de la seule variable x-\- y\ pour la commodité des calculs, nous poserons

^{x-\-y) Les formules précédentes donnent alors

dx dy dx dx"^

Cette dernière équation admet la solution particulière

4 s« dx

On a donc pour la valeur générale de \

m I dB.

ou encore

\ = -^ix-y)., ^^^

On trouve de même pour \^ la valeur suivante :

Nous sommes ainsi conduits au théorème suivant : Etant donnée V équation aux dérivées partielles

on déterminera une fonction ^ de x -t-y par r équation

La fonction

... dz âz 6'

formée avec V intégrale générale z de l'équation aux dérivées partielles , satisfera à l'équation nouvelle

et en sera évidemment V intégrale générale.

4H . Cette proposition entraîne un grand nombre de conséquences. Nous allons montrer tout d'abord qu'elle conduit aux résultats que l'on a déduits plus haut du théorème de M. Moutard.

Si l'on change en effet y en — jj', l'équation ne change pas de forme et, par conséquent, on peut obtenir une transformation nouvelle.

Déterminons une fonction t de a: — y par l'équation

T dx- ' ^ -^ ' la fonction

où z désigne l'intégrale générale de l'équation (aS), sera l'in-

ao6 LIVRE IV. — cil A p. IX.

tégrale générale de l'équalion

Ainsi chaque équation harmonique donne naissance à deux séries de transformations différentes, les unes formées avec des fonctions de {x +y)i les autres avec des fonctions de {x — y). Il suffira, évidemment, de les appliquer successivement pour obtenir la transformation que nous avons définie au n" 407. On est ainsi conduit au résultat suivant :

Déterminons deux fonctions ^{x-\-y), ^{x — y) par les équations différentielles

(3o) -jj- =?(^H-JK) + /t, '^- = ^{x—y)-^h;

la fonction

oie z désigne l'intégrale générale de V équation (2.3), sera l'intégrale générale de l'équation

C'est la proposition du n" 407, mais avec une remarque complémentaire qui ne manque pas d'intérêt : on peut passer de l'une des équations à l'autre par la formule (3i), qui ne contient aucun signe de quadrature.

412. Revenons à la proposition qui nous a servi de point de départ. Les deux équations (23) et (26) qu'elle transforme l'une dans l'autre peuvent être écrites comme il suit :

On passe de l'une à l'autre en changeant 0 en ^; la relation

LES ÉQUATIONS HARMOXIQIES. 207

entre ces deux équations est donc réciproque. La proposition nous apprend d'ailleurs que, z- étant une solution de la première, la fonction

sera une solution de la seconde. Si l'on échange les deux équations, on voit donc que la fonction

, 2O' dzi dzi

sera encore une solution de la première. En remplaçant ::, par sa valeur déduite de la formule (33), on trouve

?sous pouvons donc énoncer le théorème suivant : Etant donnée V équation harmonique

une solution quelconque z de cette équation donne naissance à une solution nouvelle z' par l'emploi de la formule

Nous avons déjà donné au n° 3oO [p. 6i] des propositions analogues relatives à l'équation E( 3, ^3'); mais on remarquera que la formule précédente contient les dérivées secondes de z.

413. Les équations harmoniques possèdent, on le voit, un grand nombre de propriétés intéressantes et forment un groupe nettement défini par ces propriétés, qui les distinguent de toutes les autres équations du second ordre dont les invariants sont égaux. Etant donnée une telle équation

il est donc intéressant de rechercher si elle appartient au groupe

^.08 LIVRE IV. — Cil A P. IX.

des équations harmoniques. Le problème peut être formulé comme il suit :

Si l'équation précédente est harmonique, elle peut être ramenée à la forme

11 faudra donc que l'on puisse déterminer pour jc' une fonction de X et pour jk' une fonction de j^, telles que l'on ait

(38) \'o{x' ^ y') — ^{x — y )\clx dy' = \{x,y)dxdy.

Cette équation admet l'interprétation géométrique suivante : Considérons la surface dont l'élément linéaire est donné par la

formule

ds^ — \{x, y) dx dy

et introduisons les nouvelles variables u et v définies par les formules

x' = u -h vi, y = u — vi\

le problème proposé pourra s'énoncer ainsi :

Reconnaître si Vêlement linéaire de la surface peut être ramené à la forme

M. Liouville, en suivant les méthodes de Jacobi, a montré que l'on peut déterminer par de simples quadratures les lignes géodésiques de toutes les surfaces dont l'élément linéaire est réductible à la forme (Sg). La question d'analjse que nous avons à étudier donne donc la solution de deux problèmes différents.

Revenons à l'identité 38); on peut la transformer comme il suit. Posons

X et Y étant de nouvelles fonctions de a; et de jk respectivement que l'on substituera à a;' et à y' pour la commodité des calculs. L'identité prendra la forme

LES ÉQUATIONS UARMOXIQLES. 209

Il suffira évidemment d'exprimer que le second membre satisfait à l'équation

c'est-à-dire que Ton a

En remplaçant dx' , dy' par leurs valeurs — ^, -4? on est conduit à 1 équation

qui, développée, prend la forme suivante :

Ainsi la question proposée se ramène à la suivante :

Rechercher s'il existe une fonction X de x et une fonction Y de y, telles que V équation précédente ait lieu identiquement.

La forme linéaire de cette équation nous conduit à la conséquence suivante :

Si l'équation est vérifiée pour deux systèmes différents (X,, Y,) et (X2, Y 2) de valeurs deX et de Y, elle l'est aussi par le système (rtX, -h 6X0, a\ i -\-b\.2). Donc, lorsqu'une équation est réductible de deux manières distinctes à la forme harmonique, elle l'est d'une infinité de manières différentes.

Lorsque l'élément linéaire d'une surface est réductible de deux manières différentes à la forme de Licuville, il l'est aussi d'une infinité de manières.

La véritable origine de celte proposition apparaîtra dans la théorie des lignes géodésiques.

Une autre remarque évidente est la suivante : Si l'équation est vérifiée par une valeur de \, elle Test aussi par a\ a étant une constante. Si elle est vérifiée, pour un même svstème de valeurs de X et de Y, par )., À, , elle l'est aussi par a\ -\- 6)., .

414. Comme première application, choisissons l'équation D. - II. i4

210 LIVHE IV. — fil A P. IX.

d'Euler

^ * ^ dx dy (x — yY '

L'équation à vérifier prendra la forme

(i3) T2(X-Y)-6(;a.-j)(X'+Y') + (^-j)HX"-Y") = o.

Si l'on différentie deux fois par rapport à x et deux fois par rapport à r, on trouve

X^'"' = YC^';

il faut donc que X^'^' et Y*"^ soient constants et, par suite, que X et Y soient des polynômes du quatrième degré. D'après l'équation (43), ces polynômes devront être égaux quand on fera x=y. On pourra donc écrire

X = ax'* -\- bx^ -+- cx^ -r- dx -+- e, Y = ay'* -f- by^ -+- cy^ -^ dy + e,

et l'on reconnaîtra que les constantes a^ b, c, d^ e ne sont assujetties à aucune condition. Comme on a

Hw H%^

et comme l'équation ne change pas lorsqu'on effectue sur x et sur Y une même substitution linéaire, on voit que l'on pourra toujours attribuer à trois racines distinctes du polynôme X telles valeurs que Ton voudra. Cette remarque permet de simplifier la discussion.

' 1° Si le polynôme X a toutes ses racines égales, on peut supposer infinie la valeur commune de ces racines. On a

La forme correspondante de l'équation est

('^^)'^ dx'dy' ^ {x'—y'y "'

2^ Si le polynôme X a une racine triple, rendons-la infinie et

réduisons à zéro la racine simple. On aura

La forme correspondante de l'équation sera

dx'dy ~ [ (^x'-yf- ~ (^'-y)*J ""•

3° Si le polynôme X a deux racines doubles, on pourra les réduire à — f et à — i: on aura

(44)< X = (n-a:2)«, j: = tangjr', ^ = tangj'.

La forme correspondante de l'équation sera

d-z mil— m 1

dx'dy' sin-(jr' — y')

4" S'il 3' a une seule racine double, rendons-la infinie et prenons o et I pour la valeur des racines simples. On aura

(44)rf X = 4x(i — x), .r = sin^j-', jr = sin'y

et l'équation aura pour forme correspondante

àx' ôy' Y&\a^{x'^y') sinî(jr'— y )J "'

0° Enfin, dans le cas général, la substitution dépendra des fonctions elliptiques. On pourra prendre

(44)e X = 4x(i — jr)(i— A-îa:), Jr = sn'(x'^ iK'), ^ = sn^^^',

et l'équation se réduira à la forme

Telles sont les cinq formes différentes que l'on peut obtenir. La dernière est la plus générale et pourrait donner toutes les autres par le passage à la limite. La détermination des solutions harmoniques correspondantes à la dernière forme se ramène à Tintéoralion de l'équation

(46) -j— =[m(m —i)kisn*-t — h],

([ui est une équation de Lamé. Le rapprochement ainsi établi entre cette équation différentielle que les travaux de M. Hermite ont rendue célèbre et Féqualion aux dérivées partielles d'Euler mériterait, crojons-nous, d'être étudié avec soin.

Si l'on se reporte à la double interprétation que nous avons déjà donnée au n" 413, on reconnaît que les calculs précédents donnent la solution de la question suivante :

Ramener l'élément d'une sphère à la forme (Sg).

La solution la plus générale correspond à l'emploi des coordonnées elliptiques.

415. Nous allons maintenant envisager une équation aux dérivées partielles nouvelle qui se rattache directement à l'équation d'Euler. Si, dans cette équation, on change successivement ;r en

— X, en -- ou en ? on peut lui donner différentes formes dans

lesquelles le quotient - x—j- prend l'une des quatre valeurs suivantes :

m{i — m) m{i — m) ni(i — m) m(i — m)

(x—jY- ' ~{x^yY' ii-i-xyy-' {i-xyY'

Considérons l'équation suivante

i ^ iJt([x — i) ^^'{\x'—\) , v(v — i) JlALzill,

^^~' z ôxdy" {x-^y)-^ {x — yY '^ {i — xyf (i + a-j)-'

OÙ a, ]}.', V, v' sont des nombres quelconques. Nous allons montrer que cette équation peut toujours être ramenée à la forme harmonique.

Si le second terme existait seul, il faudrait prendre, nous venons de le voir,

rdx , rdy

X désignant un polynôme quelconque du quatrième degré. Si l'on choisit cepoljnôme de telle manière que la quadrature / ■/= «e change pas de valeur quand on change ic en — x ou en -, la trans-

LES ÉQUATIONS HARMONIQUES. >-l3

formation correspondante ramènera évidemment l'équation (47) à la forme harmonique.

Les conditions précédentes exigent que X soit de la forme

On aura alors

w X . r dx , r dv

J ^a{x* -^i)^bx-^ J \/a{y^-^ï)-^byi

Voici le moven d'introduire les fonctions elliptiques qui nous a paru le plus commode pour la suite.

On peut résoudre les équations (49) P^ir l'emploi de la fonction doublement périodique suivante :

k I — (i — A')sn2« / K\ / K\ (5o) p(u) = -, ; j-r ;— = k snl u-, sn z< •

Celte fonction, qui se réduit à un sinus amplitude par une transformation du second degré, satisfait aux équations suivantes :

l p(u-h iK') = — — > p(« — K) =— ;(«),

Cela posé, prenons

Pif) On trouvera facilement

^■^^) -I 2 = /,-2[sn2(j:' — y) — snî(ar'-4-7')]rfar'rfy.

Changeons y en x' -+- îK'; si l'on lient compte des formules (5 1), on aura

dxdy ^ r I ^ i — ^1 ^,

' (i — xj)- L sn"-(j" — j' ) sn*(a:-i-^^J

Remplaçons enfin, dans les deux équations (53), (54)> ^' P^r j;'+K, nous trouverons

dxdy , r cn"2(:r'— j') cn^{x' -\- y'y] ^ , ,, <^5) (JTTJ^ " "■ IdaH^'-y) ~ dnî(:r' + y)J "^ ""-^ '

(56) ^-^^^ = r ^"'(^'--^^'^ - d"H^;-^y)1 dx- dy\

' {i-^xyY Lcn*(a7— y) %x\>(^x-~y)\

•il4 LIVRE IV. — CHAP. IX.

En tenant compte de ces relations, on peut ramener l'équation (47) à la forme

(57) îâ^'^?^^' + -^'^-?('^'-->''>'

la fonction C2(^) étant définie par la formule

A-2 cn2 1

<o{t) = ix{ix — i)

dn2;

(v — 1) , , cln2^

^^'(lx'—i)k2snH-^ -77:77- +^''0'' — 0,,,

de sorte que la détermination des solutions harmoniques dépendra de l'intégration de l'équation

analogue à l'équation de Lamé. Nous avons déjà remarqué [I, p. 442] que cette équation s'intègre, par l'application du beau théorème de M. Picard, toutes les fois qvie jjl, ^', v, v' sont des nombres entiers.

416. Ici encore se maintient la correspondance que nous avons déjà signalée à propos de l'équation d'Euler. L'équation (47) est explicitement intégrable, comme l'équation linéaire (09), toutes les fois que les nombres p., [j/, v, v' sont entiers. Nous établirons ce résultat en faisant connaître une transformation singulière de cette équation.

Introduisons les fonctions

( u = X -T- y, w =: xy — i,

de X et dejK* Si l'on considère ;r,j^ comme les coordonnées symétriques d'un point de la sphère de rayon 1, u^ v, tv, — pi sevoni les coordonnées homogènes du même point [I, p. 3-]. On a

[ U -^ W =1 IX, W -{- ip = — 2,

( Il — w = ly, w — f/> = 7.xy,

Au moyen de ces formules, on peut toujours exprimer une

fonction donnée quelconque de x et de r, F(x, i'), sous une infinilé déformes différentes, parmi lesquelles nous distinguerons les suivantes

\ i / \ IV -i- ip IV -r- ijj /

dont la dernière est une fonction homogène de degré quelconque //, ne contenant iv et p que dans la combinaison (v -h ip.

D'après cela, supposons qu'une fonction Z de x et de r ait été exprimée en fonction de m, v, (v, p. On aura

\ dy ~ ^ Oi- ' \dw dp/

La multiplication nous donnera

làzdz/dzy- /azy , /^V^/^V

'^^' i /dZ .dZ\/ dZ dZ dZ dZ\

( -^\:d^^'^)Vdïc-^'d^^'''drr--Prpj'

Si donc la fonction Z a été ramenée à être homogène et de degré zéro, ou bien si elle ne contient w et p que dans la combinaison w -t- //?, on aura l'équation suivante :

dz dz /^y (àzy (à^Y /^y

^^^^ d?;>7'~U«/ '^V'^^-/ '^V'^"'/ ^\àp)'

Calculons de même ^i — r-- L'application des formules (63) nous

dx dy ^ ^

donnera

dx dv àu^ dv- div- ' dp-

^ ' ' d-j d-: di dz

du dv dw ^ dp

■s désignant, pour abréger,

Donc, si Ton adopte les mêmes hypothèses que précédemment

dZ .dZ dw dp

216 MVRE IV. — CII.VP. I X.

sur l'expression de Z, on aura

,rr\ ^'7- ''>-7^ à'-Z d'-Z Ô'-Z

(ob) ■ — = ■ 1 \ 1 = \7

^ Ox ùy du'- àv^ dw^' ôp'^ '

et l'équation proposée sera ramenée à la forme

qui est parfaitement symétrique par rapport à u, v, (v, p. Il suffira de rechercher les solutions de cette équation qui sont homogènes et de degré zéro.

Si l'on effectue le changement de variables suivant

(68) -Z = M^p!^\vv^v'o, on sera conduit à l'équation nouvelle

u ait V Ov w ôw p (Jp

dont il faudra rechercher les solutions homogènes de degré — Sy s désignant la somme

(70) 5 = IJL-f- JJl'-H V + v'.

Une dernière transformation, définie par les formules

ramènera l'équation à la forme

du''^ "^ dp'2 div'^ " àp'^

(72) • ^ -1- ;x -^ - -—, -h ;jl'-t- - —

2/ dit' V 2/ y/>

qui donne naissance à des formules analogues à celles que nous avons développées au n" 3o3 relativement à l'équation E([3, ,3'). Si l'on désigne par 0(|j., <^', v, v') une quelconque de ses solutions, on aura

(73) àû'^^^'^' '^'' '^' ''''' "^ ^d-^-^i' /' '^ ''')'

LES EQUATIONS HARMONIQUES.

et des formules analogues relatives aux dérivées par rapport à v', iv', />'. Eu revenant aux variables u, c, (v, y?, on voit que l'on pourra écrire la formule générale

r;4) j {^uf {t^t i^y i^y ®^'"' ^'' -'' ^'>

\ = e(,u -i- m, ii'-f- m', V + n, v'-t- «'),

dans laquelle les symboles tels que ( ) désignent l'opération

—7- répétée m fois, et qui est analogue à la formule (20) de la

page 64.

On aura, en particulier,

( =lir^j iiT^j \^ird^) \jd^) ^^•'•'''

La valeur de 9(i, i, i, i) se trouve aisément. En remontant aux équations (66) et (67), on voit que l'on peut prendre

F et F, désignant deux fonctions arbitraires. Si Ton écrit cette fonction sous forme homogène, on aura

(77) 0(i,i,i,i)= ^^- F -^H"^' TT ;

uvivp L \ w —ip J ^^' — 'P / J

il suffira de prendre

pour obtenir une expression de 0(m, m', n, n') qui soit homogène et de l'ordre que nous avons supposé. La substitution de cette expression dans la formule (~o) donnera l'intégrale cherchée.

417. Nous terminerons ce Chapitre en indiquant quelques sujets de recherches, qui se rattachent directement aux propositions précédentes :

1° Nous avons indiqué les moyens de former un nombre illimité d'équations harmoniques qui s'intègrent par l'application de

•Il8 LIVRE IV. -— CHAP. IX. — LES ÉQUATIONS HARMONIQUES.

la méthode de Laplace. Il y aurait intérêt à déterminer l'ensemble des équations harmoniques possédant cette propriété.

2° Les équations harmoniques, admettant une infinité de solutions particulières avec lesquelles on peut former des solutions plus étendues, se prêtent à l'application des méthodes deFourier. il semble donc que l'on pourrait déterminer, au moins dans des cas très étendus, la fonction u(x,j', a^ojJKo) (n" 358) relative à ces équations. Telle est, d'ailleurs, la voie suivie par Riemann dans le cas particulier de l'équation E(^, [î).

3" Tl résulte enfin des calculs du n° ilo que l'élément linéaire défini par la formule

( 79 ; ds^ ^ \ -H + ; + dx dv

est réductible d'une infinité de manières à la forme

['P(u) — W(v)](du^ -\-dv^').

On ne connaît pas encore toutes les formes de l'élément linéaire qui possèdent cette propriété. La recherche de ces formes entraîne des calculs assez longs que fait prévoir, d'ailleurs, l'étendue de la solution donnée par la formule précédente. Nous reviendrons sur ce sujet lorsque nous traiterons des lignes géodésiques, et nous nous contenterons de renvoyer le lecteur à un beau Mémoire de M. Lie, Untersuchungen iiber geoddtiscJie Curven^ inséré en 1882 aux Mathematische Annalen (t. XX, p. 35^), où se trouve indiquée une forme de l'élément linéaire qui est comprise comme cas particulier dans celle que nous venons de signaler.