CHAPITRE

Détermination de toutes les surfaces sur lesquelles les développables dune congruence donnée interceptent un réseau conjugué. — L'intégration d'une seule équation linéaire aux dérivées partielles permet de résoudre ce problème pour une suite illimitée de congruences rectilignes. — Problème inverse : Etant donné un système conjugué tracé sur une surface, trouver toutes les congruences dont les développables interceptent sur la surface ce réseau conjugué. — Double solution de ce problème par l'emploi des deux équations, ponctuelle et tangentielle, relatives au système conjugué. — Troisième problème : Etant donnée une surface (S) et un réseau conjugué sur cette surface, déterminer toutes les surfaces (S,) telles que les développables d'une même congruence inconnue interceptent sur (S,) un réseau conjugué et sur (S) le réseau donné. — Relations géométriques entre les deux surfaces (S) et (S,). — Application au cas particulier où Ion établit une correspondance entre deux surfaces quelconques par la condition que les plans tangents aux points correspondants se coupent suivant une droite située dans un plan fixe. — Cas où le plan fixe est rejeté à Finfini. — Correspondance de Steiner. — Application à l'Optique géométrique.

418. Les principales applications géométriques des propositions que nous avons démontrées dans les Chapitres précédents se développeront dans la suite de cet Ouvrage. Ces propositions jouent un rôle fondamental dans l'étude de la déformation infiniment petite d'une surface quelconque et dans la recherche de toutes les surfaces qui admettent une représentation sphérique donnée pour leurs lignes de courbure. Nous allons, dès à présent, faire connaître quelques résultats très simples, qui doivent être regardés comme donnant l'interprétation géométrique des théorèmes d'Analyse que nous avons démontrés au Chapitre ^ III.

Reprenons les notations du Chapitre l; soit

^^6 dd , Oh

il) ^ a -. -o- c^ — o

àpàpi ôp dpi

l'équation ponctuelle relative à un système conjugué tracé sur une surface donnée (S)^ les coordonnées homogènes -p, jk, z-, t d'un point M de la surface seront des solutions particulières de l'équation précédente.

Les coordonnées X, Y, Z, T d'un point quelconque P pris sur la tangente en M à la courbe de paramètre p seront (n°323)

\ étant une arbitraire dont la variation donnera tous les points de la tangente.

Cela posé, envisageons la congruence(G) formée par l'ensemble des tangentes aux courbes de paramètre p. La surface focale de cette congruence se compose de deux nappes, la surface (S) et une surface (Sf), que l'on obtiendrait (n° 323) en attribuant à \ la valeur a dans les formules (2). Nous allons chercher quelle valeur il faut attribuera cette arbitraire pour que les développables de la congruence (G) découpent sur la surface (S) décrite par le point (X, Y, Z, T) un syslème conjugué. Les lignes suivant lesquelles la surface (S) est coupée par les développables de la congruence sont, évidemment, les courbes de paramètre p et O) : il sera donc nécessaire et suffisant que X, Y, Z, T soient quatre solutions particulières d'une même équation linéaire du second ordre

(3) -r ; hA- -B- (-C0 = O,

dp dpi dp âpi

de même forme que l'équation (i).

Si l'on substitue dans le premier membre de l'équation précédente la valeur de X, par exemple, et que l'on élimine au moyen de l'équation (i) tovites les dérivées de x prises à la fois par rapport à p et à p(, on obtiendra un résultat de la forme

M^ -+- N — 4- P -- 4- Q -— ; dp dpi dp(

et cette expression devra s'annuler, ainsi que celles que l'on obtient en y remplaçant x par y, z, t.

APPLICATIONS GEOMETRIQCES, 221

Si M, X, P, Q n'étaient pas nuls, on aurait nécessairement

y -t: JT

ôx

ày

dpl

Mais alors, d'après un résultat donné au n° 109 [I, p. iSg], l'équation des lignes asvmptotiques de la surface (-) deviendrait

La surface serait développable et les courbes de paramètre z seraient des génératrices rectilignes. Nous pouvons écarter cette hvpothèse, dans laquelle le problème proposé n'aurait aucun sens.

Il faudra donc que M, N,P, Q soient tous nuls, c'est-à-dire que, pour toute solution Ô de l'équation (i), la fonction

dpi

vérifie une équation de la forme (3).

La question d'Analyse à laquelle nous sommes conduits est une de celles que nous avons examinées au Chapitre \ IIL D'après le théorème du n*^ 400, le problème ainsi posé n'admet que deux solutions. On doit prendre A=rt, ce qui donnera la seconde nappe (2,) de la surface focale de la congruence (G), ou

6' désignant une solution quelconque de l'équation (i). Cette dernière valeur de A donne la véritable solution du problème proposé. Si on la porte dans les formules (2), on obtient le théorème suivant, qui a été donné par M. Lucien Lévy, dans le Mémoire que nous avons déjà cité [p. 177]-

^ao, LIVRE IV. — CHAP. X.

Les formules

api opi

dpi -^ âpi dz ^ c)6

"?1 "pi

àpi àpi

OÙ 9 désigne une solution quelconque de V équation (i), définissent la surface la plus générale sur laquelle les développables de la congruence (G) découpent un réseau ou système conjugué.

La Géométrie explique ainsi très bien pourquoi la méthode de Laplace peut être considérée comme un cas limite des transformations plus générales que nous avons définies : parmi les surfaces sur lesquelles les développables d'une congruence découpent un réseau conjugué, se trouvent évidemment comprises, comme surfaces limites, les deux nappes de la surface focale de cette congruence.

Si l'on combine le résultat précédent avec l'application de la méthode de Laplace, on est conduit à la proposition suivante :

Etant donnée une surface (S) sur laquelle on connaît un réseau conjugué, désignons par

..., (G,), (G), (Gi), ...

la congruence (G) formée par les tangentes aux courbes de paramètre p, et toutes celles que l'on en fait dériver géométriquement par la méthode du n° 322. L'intégration de l'équation linéaire à laquelle satisfont les cjuatre coordonnées homogènes dhin point de la surface permet :

1° De déterminer toutes les surfaces (Sf) découpées suivant un réseau conjugué par les développables de l'une quelconque des congruences (G,);

1° De résoudre le même problème lorsqu'oji substitue à (2) l'une quelconque des surfaces (S,), le système conjugué tracé

sur (S,) étant celui qui est déterminé par les développables de (G/)!

Chaque solution de Véquation linéaire permet de déterminer une surface (Si) pour chacune des congruences (Gj).

419. La dernière partie de celte proposition peut recevoir l'application suivante.

Associons au point P, défini par les formules (5) et qui décrit la surface (S), le point P, défini par les formules analogues

où Ton change p, en c en conservant la même solution H. Le point P, décrira une surface (S j) et se trouvera sur la tangente en M à la courbe de paramètre p, tracée sur (Z). La droite PP, est donc située dans le plan tangent en M à la surface (Z).

Lorsque p et p, varient d'une manière quelconque, cette droite engendre une congruence recliligne : nous allons montrer que P et P, sont les points focaux de la droite PP,. En d'autres termes, (S) et (S i) constituent les deux nappes de la surface focale de la congruence formée par toutes les droites PP,-

En effet, on peut toujours, en multipliant les solutions de Féquation (i) par une fonction de x et de y, réduire 0 à l'unité; cette équation, devant alors admettre la solution i, se réduira à la forme simple

dp opi ôp opi

et les coordonnées des points P et P, dépendront

àpi

Y - ^-^' ai,'

''Pi

àpi'

^'=Vp'

En vertu de l'équation (-), on aura, par exemple, dX

et les équations analogues en Y, Z. T. Ces équations expriment

224 LIVRE IV. — en A P. X.

évidemment que, lorsque p varie seul, le point P décrit une courbe tangente à la droite PP, . Ce point est donc un des points focaux de la droite PP, ; et une démonstration analogue prouverait de même que P, est le second point focal.

420. Proposons-nous maintenant le problème inverse du précédent. Supposons que l'on demande de trouver les congruences rectilignes dont les développables découpent sur la surface (S) le réseau conjugué considéré (p, pi). 11 résulte des équations (5) et des développements précédents que le problème peut être formulé ainsi.

Étant donnée l'équation

(8j — ha--+ù- l-cô = o,

àpàpi âp dpi

à laquelle satisfont ^, y, z, t, trouver une fonction a définie en fonction de 9 par une équation de la forme

àpi (^pi

et satisfaisant à une équation linéaire

dp àpi ' dp '^ dpi

dont 0-' sera une solution particulière.

Nous remarquons d'abord qu'on peut remplacer a- par -, ce qui

revient à supposer 3-'=i, On aura donc, pour déterminer o", les deux équations plus simples

' dp dpi dp ' d'^i

d'où l'on déduit par un calcul facile

di =

diiiQ)

,3[jiO|c?p + ;jLerfpi.

Il faudra que le second membre soit une différentielle exacte et que <y satisfasse, quel que soit 8, à l'équation (lo).

Cette question est un cas particulier de celle que nous avons traitée au n° 402. Les résultais que nous avons obtenus montrent que Ton aura

u. étant une solution quelconque de l'équation adjointe à la proposée (8).

Ainsi, si l'on se propose de déterminer toutes les congruences dont les développables découpent sur une surface (2) un réseau conjugué donné, la solution de ce problème dépendra de l'intégration de l'équation linéaire adjointe à celle que vérifient les quatre coordonnées homogènes d'un point quelconque de (-). Si |JL désigne une solution quelconque de cette équation, Tune des nappes (S) de la surface focale de la congruence cherchée sera définie par les équations

'' ^/[^•''It-''^' •'■=■- Kl -*-'■) '4

et il résulte des remarques présentées au n° 402 que l'autre nappe est définie par des équations toutes semblables, où l'on conserve la même solution de l'équation adjointe, mais où Ion échange a et 6, p et p,.

D'après les remarques qui terminent le Chapitre IV, l'inté£:ration d'une équation linéaire et celle de son adjointe sont deux problèmes qui se ramènent 1 un à l'autre, à quelque point de vue que Ton se place. On peut donc dire que la résolution des deux problèmes de Géométrie que nous venons d'étudier dépend de l'intégration d'une même équation linéaire, l'équation ponctuelle relative au système conjugué tracé sur (S).

421. On peut encore résoudre les deux problèmes précédents en empWant l'équation tangeniielle relative au système conjugué D. -II. " ,5

(II

226 LIVRE IV. — Cil A P. X.

et obtenir ainsi, par une voie purement géométrique, la confirmation du résultat établi au n° 405 [p. 190], relativement aux deux équations, ponctuelle et tangentielle, qui se rapportent à un même svstème conjugué.

Considérons, par exemple, le second problème, celui dans lequel on se propose de déterminer les congruences dont les développables interceptent sur (S) un réseau conjugué donné. Soit

^ ' dp dpi dp ^ dpi

l'équation tangentielle relative à ce système conjugué. Les coordonnées u, ç, w^ p du plan tangent en M à (S) sont des solutions particulières de cette équation. La tangente à la courbe de paramètre p,, par exemple, sera définie par les deux équations

/ aX-H vX -+- (vZ -T- pT =0,

l dpi opi opi opl

L'une des développables de la congruence doit contenir cette courbe; son plan tangent en M sera donc défini par l'équation

(li bis) UX-+-VY-^WZ-^PT = o,

où l'on a

Opi àpi

Le plan défini par l'équation (i3 bis) doit envelopper une des deux nappes de la surface focale de la congruence cherchée; et nous savons que, sur ces nappes, les courbes de paramètres p et p, doivent tracer un réseau conjugué. Il faudra donc que U, V, W, P considérées comme fonctions de p, p, satisfassent à une équation linéaire de la forme (12); et, par suite, on aura

U = W -— àpi

dpi

àpi

dpi

APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. ii-

h) désignant une solution particulière quelconque de l'équation (12).

422. Nous allons maintenant résoudre un troisième problème de Géométrie qui se rattache directement à ceux que nous venons d'étudier.

Etant donnés une surface (S) et un réseau conjugué tracé sur cette surface, proposons-nous de déterminer toutes les surfaces (Si), telles que les développables d'une même congruence, d'ailleurs inconnue, interceptent sur (S,) un réseau conjugué et sur (S) le réseau donné a priori.

La solution de ce nouveau problème s'obtient évidemment par la combinaison de celles que nous avons fait connaître dans les numéros précédents. On déterminera d'abord toutes les congruences dont les développables interceptent sur (S) le réseau donné; et il n'y aura plus ensuite qu'à chercher les surfaces (Si) sur lesquelles les développables de chaque congruence obtenue interceptent un réseau conjugué.

Désignons parjc,y,z-, fies coordonnées d'un point quelconque M de (S); ces coordonnées seront des solutions particulières de léquation ponctuelle

ap opi dp Opi

(I3) 3737- -^«— -^6-— -v-cO =0,

relative au système conjugué tracé sur (S). La surface focale (S) d'une congruence dont les développables interceptent sur (S) le réseau conjugué donné sera déterminée par les formules (11), où u désigne une solution déterminée, mais quelconque, de l'équation adjointe; et nous savons (n*' 402) que l'équation linéaire dont X, Y, Z, T sont des solutions particulières admettra pour solution

générale

6 étant la solution générale de l'équation (i5).

D'après le théorème du n° 418, la surface (Si) la plus générale sur laquelle les développables de la même congruence découpent

228 LIVRE IV. — Cil A P. X.

un réseau conjugué sera définie j)ar les formules

(■7) -^'^^-^d^' ^^=^-^di^'

Si l'on remarque que l'on a, d'après les formules (i i) et (i6),

- = 0 ( - ' au, T— = ^ "T"

d?i \àpi V dpi \âpi

(i8) .IT. =M7)t-«f"'- -^=x{-^-aix

on pourra écrire

el l'on déduira de là

et de même

On voit donc que, si l'on multiplie x, y, z, t par 8, les relations entre les deux surfaces (S) et (S,) appartiennent au type suivant :

dx àpt

dti di,

dpi

Réciproquement, toutes les fois qu'il y aura, entre les points correspondants M et M, de deux surfaces quelconques (S) et (S,) des relations de la forme précédente, quelles que soient d'ailleurs les valeurs de lel de t^, ces surfaces auront entre elles la relation que nous nous proposons d'étudier.

Si l'on élimine, en effet, Xi entre les deux premières équations, on obtient l'équation

à /.dx\ d / àx\

(^3) diA d^)~ô-py^àiJ~ '

APPLICATIONS GÉOMÉTRIQl ES. lït)

qui est encore vérifiée quand on remplace x par y, z- et t. Par suite les courbes de paramètres p et z, déterminent sur (S) un système conjugué.

La relation analogue

d /i dTi\ d /ï dxi\

montre qu'il en est de même pour la surface (S|).

D'ailleurs le point P (7?^. 28) de coordonnées t-' -r-y -r^> -7- se

trouve sur la tangente à la courbe de paramètre p, tracée sur (S): et, comme il est identique, d'après les formules (22), au point de

, , dxi dr, dzt dt, . . , , ,

coordonnées -r-^, -r-' 3— ' t- qui se trouve sur la tangente a la dp dp dp dp ^ °

courbe correspondante tracée sur (S|), on reconnaît immédiatement que ces deux tangentes se rencontrent toujours. De même les deux tangentes aux courbes de paramètre p se coupent en un

r» , , , Oj: dy àz dt

point r,, de coordonnées -— » -^j -r-^ ■^—' ^ dpi dpi dpi àpi

Fis. 38.

D'après cela, déplaçons-nous sur une courbe de paramètre p par exemple.

La surface réglée engendrée parla droite MM,, admettant en M le plan tangent P, MM, et en M, le même plan langent P, M, M, sera nécessairement développable. Comme on peut faire le même raisonnement pour les courbes de paramètre s,, on reconnaît ainsi que les développables de la congruence engendrée par la droite MM, interceptent effectivement sur les deux surfaces les deux réseaux conjugués considérés.

423. Xous allons maintenant établir la propriété la plus essen-

23o LIVRE IV,