CHAP. X

lielle de cette théorie et montrer que les développables de la congruence engendrée par la droite PP, correspondent à celles de la congruence engendrée par MM,; et, de plus, que P et P, sont les points focaux de la droite W^.

Nous avons, en effet, déterminé dans le raisonnement pi'écédent les coordonnées des points P et P,. Elles sont

dx dy ùz ()t

-—■> -'—■> —-7 —5 pour]*,

àp dp ôp ôp '

Ô.V dy dz dt ^

Y-' -f- ' 1—' y-' pour Pi.

dpi dpi ôpi dpi

Écrivons l'équation (23) sous la forme suivante :

àl àiJ.

à ( àx\ (>p] dx dp dx

dpi \àp/ [j. — X dp n — X dpi

Cette relation, où l'on pourrait remplacera parj', -, t, exprime que le point P décrit, lorsque p, varie seul, une courbe dont la tangente est la droite PP,. En effet, si l'on remplace dans le second membre x par x, jk, -c, (■, on a les coordonnées d'un point , de la droite PP, . On verra de même que le point P, décrit, lorsque p varie seul, une courbe dont la tangente est PP,. La proposition que nous avions énoncée est ainsi complètement démontrée.

Si on la transforme par la méthode des polaires réciproques, on obtient le théorème suivant :

Etant données deux surfaces (S), (S,) qui se correspondent point par point, soient M et M, deux points correspondants sur les deux suif aces et soit PP, la droite d'intersection des plans tangents en ces points. Elle engendre une congruence rectiligne et nous désignerons par P, P, ses deux points focaux. Si les droites MP, MP, sont des tangentes conjuguées de (S), et de même les droites M, P, M, P, des tangentes conjuguées de (S,), les développables de la congruence engendrée par la droite MM, correspondent à celles de la congruence formée par les droites PP, ; et elles découpent sur les deux surfaces les réseaux conjugués formés des courbes admettant en M les tangentes MP, MP, et en M, les tangentes M, P, M, P, .

11 résulte immédiatement de ce théorème que la relation entre

dui

dvi 'dp

dwi

.,dw

dpi

APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. a3l

les deux surfaces (S) et (S,) est dualistique. On pourra donc joindre aux formules (22) les équations analogues, relatives aux coordonnées langentielles des plans tangents en M et en M,,

dui , du

àpi ~" ' dpi'' dvi , dv

dpi dpi

dwy , dw

àpi ~ ' dpi'

dpi ' opi

4:2i. Les propositions que nous venons de développer pourraient être démontrées par la Géométrie; pour ne pas étendre notre exposition, nous nous contenterons d'appliquer la méthode géométrique à la démonstration du théorème suivant :

Étant donnée une correspondance entre deux sur/aces (S) et (S|), soient ijig- 28) M, M, les points correspondants et PP| l'intersection des plans tangents en M e^M,. Si les développables de la congruence {G) formée par la droite MM, correspondent aux déicloppables de la congruence (K) engendrée par la droite PP, ; et si, de plus, les points focaux P et P, de la droite PP, sont dans les plans focaux de la droite MM, {c'està-dire dans les plans tangents aux deux développables qui contiennent MM,), chaque point focal se trouvant dans le plan focal qui ne lui correspond pas, les deux surfaces (S) et (S,) sont dans la relation que nous venons de définir, c'est-à-dire que les développahles de la congruence (G) interceptent sur (S) et (S,) des familles de courbes conjuguées.

Considérons, en effet, les deux plans focaux de la droite MM,. Ils rencontrent les deux plans tangents suivant des droites MP et M, P, MP, et M, P, qui se coupent deux à deux aux points P et P, ; et ces points sont, d'après l'hypothèse, les points focaux de la droite PP,.

Lorsque la droite MM, se déplacera infiniment peu en décrivant un élément de développable dans le plan MPM, par

•■^3'. LIVRE IV. — Cil A P. X.

exemple, la droite PP, décrira aussi un élément de dévcloppable et tournera, d'après l'hypothèse, autour du point P< ,

Soit M' M', la position nouvelle de MM,. 11 est aisé d'établir que les quatre plans tangents aux deux surfaces en M, M,, M', M', viennent se couper au point P,. En effet, les deux premiers plans se coupent suivant la droite PP,, les deux autres suivant la position infiniment voisine de cette droite, qui, par hypothèse, rencontre PP, en P,. Prenons maintenant les quatre plans dans un autre ordre. L'intersection des plans tangents en M et M' est la tangente conjuguée de MP; cette tangente viendra nécessairement passer par le point P,. Les droites MP, MP, sont donc des tangentes conjuguées, et il en est de même de M, P, M,P,. C'est la proposition que nous avons énoncée.

423. Les différents résultats que nous venons d'établir sont d'une grande généralité et interviennent comme éléments essentiels dans différentes recherches géométriques. Nous allons, dès à présent, en indiquer une application très simple.

Étant données deux surfaces (S), (S,) et un plan (P), par toutes les droites [d) du plan (P) on mène des plans tangents à (S) et à (S,), et l'on établit ainsi une correspondance entre les points des deux surfaces. Nous allons montrer que les développables de la congruence formée par l'ensemble des droites qui joignent les points correspondants interceptent sur (S) et sur (S,) deux réseaux conjugués.

Soient, en effet, M, M, les points correspondants de (S) et de (S,). Les plans tangents en M et en M, se coupent suivant une droite [d) du plan (P); construisons sur cette droite les deux points Q, Q, qui divisent harmoniquement l'angle des deux tangentes asymptotiques en M à (S) et l'angle des deux tangentes asymptotiques eu M, à (S,). Les points Q, Q, peuvent être considérés, au même titre que tous les autres points de la droite (<i), comme les points focaux de la congruence engendrée par cette droite. Par suite, comme les droites MQ, MQ, sont des tangentes conjuguées de (S) et les droites M, Q, M, Q, des tangentes conjuguées de (S,), il résulte des théorèmes du numéro précédent que la droite MM, appartient à une congruence dont les développables découpent des réseaux conjugués sur (S) et sur (S,).

Et de plus les plans QMM,, Q,MM, seront les plans focaux de MM|, c'est-à-dire les plans tangents aux deux, développables qui contiennent MM|.

Il est clair que ces développables ne pourront pas être déterminées en général ; pour les obtenir, il faudra chercher dans le plan (P) les courbes qui sont tangentes aux différentes droites {d) en un des points Q, Qi, c'est-à-dire les courbes dont les tangentes admettent leur point de contact comme point focal.

Imaginons, par exemple, que les deux surfaces (S) et (S,) soient du second degré. Si l'on mène une droite (^d) dans le plan (P), les points focaux de cette droite seront les extrémités du segment qui est divisé harmoniquement par les deux surfaces. On les obtient, comme on sait, en menant par les quatre points communs à (S) et à (S,) situés dans le plan (P) les deux coniques tangentes à la droite {d). Si l'on considère une quelconque de ces coniques, chacune de ses tangentes admettra son point de contact comme point focal; et, par suite, les développables de la congruence seront formées des droites MM| qui correspondent aux diverses tangentes d'une même conique. On peut donc énoncer la proposition suivante.

Si, par toutes les droites d'un plan (P), on mène des plans tangents à deux surfaces (S), (S|), la droite qui joint les points de contact engendre une congruence dont les développables découpent sur (S) et sur (S,) des réseaux conjugués. Si (S) et (S,) sont du second degré, ces développables peuvent être déterminées algébriquement. Les droites qui, dans le plan (P), correspondent à leurs génératrices rectilignes, sont tangentes à une même conique passant par les quatre points communs à (S) et à (S|) situés dans le plan (P).

Les plans tangents aux deux développables qui contiennent une même droite MMi coupent les plans tangents aux deux surfaces suivant des droites conjuguées. Ils sont donc conjugués à la fois par rapport aux deux surfaces (S) et (S,), c'est-à-dire que chacun d'eux contient le pôle de l'autre.

Si les deux surfaces sont homofocales, les plans conjugués par rapport aux deux surfaces sont nécessairement rectangulaires; par suite, les deux familles de développables se couperont à angle

droit. Nous verrons que cette propriété caraetérise les congruences formées des normales à une surface. Nous sommes ainsi conduits à l'élégant théorème suivant, que Laguerre, notre ami regretté, a obtenu comme conséquence de ses études sur les divers modes de génération des cjxlides (').

Etant données deux surfaces hoinofocales du second degré et un plan (P), si l'on mène, par les droites du plan (P), des plans tangents aux deux surfaces, les droites cjui joignent les points de contact correspondants seront normales à une famille de surfaces parallèles.

426. Nous allons maintenant envisager d'autres applications en supposant que les surfaces (S) et (S,) demeurent quelconques, mais que le plan (P) s'éloigne à l'infini. On a alors le théorème suivant :

Si Von mène à deux surfaces (S) et (S, ) des plans tangents parallèles, la droite cjui joint les points de contact correspondants M, M, engendre une congruence dont les développahles interceptent sur (S) et sur (S,) un réseau conjugué.

Si l'on choisit pour variables p et p^ les paramètres des courbes conjuguées qui se correspondent sur (S) et sur (S,), les équations (29.) prennent ici la forme

dx\ , dx dx^ dx

Op ()p àpi dpi

dp dp Opi opi

dzi ^ dz dzi dz

Op ' Op Opi dpi

x,jK, :; et^,,jK(, -1 désignant les coordonnées cartésiennes des points M et M,. Ces équations sont évidentes : elles expriment

(') Laguerre, Sur quelques propriétés des surfaces anallagmatiques {Bulletin de la Société philomathique, p. 17; 1868). Parmi les surfaces auxquelles sont normales toutes les droites de la congruence, se trouve toujours une cyclide [I, p. 207] si le plan (P) ne passe pas par le centre commun des deux surfaces homofocales. Cette cyclide se construit par points de la manière suivante : soit (5) la droite, perpendiculaire au plan (P), qui contient les pôles de ce plan par

APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. i35

simplement que les tangentes aux courbes correspondantes des deux réseaux conjugués sont parallèles.

Le mode de correspondance précédent a été considéré par Steiner ('). Il comprend comme cas particulier la représentation spliérique de Gauss; il suffît de supposer que la surface (S() se réduit à une sphère. Dans ce cas particulier, les deux développables qui contiennent la droite MM, coupent le plan tangent en M, à la sphère suivant des droites conjuguées, c'est-à-dire rectangulaires. Les tangentes conjuguées de la surface (S) en M, étant parallèles aux précédentes, sont nécessairement rectangulaires; le système conjugué se réduit donc à celui qui est formé par les lignes de courbure. Les formules (a^j) deviennent identiques à celles d'Olinde Rodrigues [I, p. 199] qui jouent un rôle si important dans la théorie des lignes de courbure.

Revenons au cas général où la surface (S,) est quelconque, et imaginons que cette surface grandisse indéfiniment en demeurant homothétique à sa position initiale par rapport à un point fixe O. Le système conjugué tracé sur (S) demeurera invariable; on le reconnaît immédiatement, car les systèmes conjugués tracés sur (S) et sur (S)) peuvent aussi être définis par la condition, indépendante de toute congruence, que les tangentes aux courbes correspondantes des deux systèmes tracés sur les deux surfaces soient toujours parallèles ; et cette propriété subsiste évidemment lorsque (S,) est remplacée par une surface homothétique. A la limite, lorsque (S) ) aura grandi indéfiniment, la droite MM, se confondra avec la parallèle menée par le point M au rayon primitif OM,. Ainsi :

Etant données deux surfaces (S), (S,), on leur mène des plans tangents parallèles (P), (P, ). Si, par le point de contact

rapport aux deux surfaces homofocales; et soit (rf') la droite du plan qui correspond à une droite quelconque (rf) de la congruence. Le plan mené par (S) perpendiculairement à {d') coupe la droite (c?) au point où elle est normale à la cyclide cherchée. Si le plan (P) passe par le centre commun des deux surfaces, les droites deviennent normales à des surfaces de quatrième classe, corrélatives des cj'clides, que nous rencontrerons plus loin (Chap. XIV et XV).

(') Steixer, L'eber Lehrsàtze von welchen die bekannten Sàtze iiber parallèle Ciirven besondere Fàlle sind {Journal de Crelle, t. XXII, p. 76, 1846, et J. Steiner's gesammelte WerAe, t. II, p. 36i).

•236 LIVRE IV. — CIIAP. X.

de (P) et de (S), on mène une parallèle au rayon veclear qui joint un point fixe de l'espace au point de contact de (P,) et t/e (S,), cette parallèle appartient à une congruence dont les développables découpent sur (S) un réseau conjugué. Ce réseau correspond à un réseau conjugué de (S,).

C'est une généralisation de la propriété bien connue des normales à une surface.

4!27. Nous avons, au n° 81 [I, p. 99], indiqué quelques propriétés des surfaces qui sont engendrées par la translation d'une courbe de forme invariable. L'étude du mouvement d'une surface qui se déplace en conservant son orientation conduit à des propositions analogues. Etant donnée une surface quelconque (S,) et un point O dans l'espace, supposons que ce point O soit invariablement lié à (S,) et déplaçons cette surface parallèlement à elle-même, en assujettissant le point O à décrire une surface fixe (S). Les positions successives de (S,) dépendent des deux paramètres qui fixent la position du point O; cette surface aura doncune enveloppe qu'elle touchera en un nombre limité de points. Soient (S',) une position de (S( ) et O' la position correspondante de O sur la surface (S). 11 est évident géométriquement que les points où la surface (S',) touche l'enveloppe sont ceux où le plan tangent à (S',) est parallèle au plan tangent à (S) en O'. On aura donc la construction suivante de l'enveloppe :

Menons aux deux surfaces (S) et "(S,) deux plans tangents parallèles quelconques et soient M, M, leurs points de contact. Le rayon vecteur de l'enveloppe sera la résultante ou la somme géométrique des deux rayons vecteurs OM, 0M| ; et le plan tangent à l'extrémité de ce rayon vecteur sera parallèle aux plans tangents en M et en M| .

Cette construction montre immédiatement que l'on peut échanger (S) et (S|). L'enveloppe demeurera la même si, au lieu de déplacer (Si), on déplace (S) de telle manière que le point O décrive la surface (S|). On a ainsi une généralisation de la propriété du n" 81.

Reprenons la construction précédente, mais en substituant successivement à la surface (S| ) toutes les surfaces homothétiques

de (S,) par rapport au centre O. On obtiendra une série d'euveloppes (S), (S'), (S'), . . . qui constitueront une famille dont la surface (S) fera partie. Soient M, a, a', ... les points qui se correspondent sur (S), (S), (S'), .... Tous ces points seront en ligne droite ; les plans tangents en ces points seront tous parallèles; et enfin les développables de la congruence engendrée par la droite Mua'. . . découperont sur toutes les surfaces un réseau conjugué correspondant à un réseau conjugué tracé sur (S|). Il suffit de supposer que celte surface (S,) se réduit à une sphère pour retrouver les propriétés essentielles et bien connues des surfaces parallèles.

4!28. L'étude de la famille de surfaces que nous venons de définir trouve une application immédiate et très intéressante dans l'optique géométrique des milieux homogènes ('). Admettons, en effet, que (S|) soit la surface d'onde caractéristique d'un tel milieu, c'est-à-dire qu'elle soit le lieu des points atteints après l'unité de temps par un ébranlement parti de O. D'après la définition même des milieux homogènes, le lieu des points atteints après un temps quelconque par le mouvement vibratoire sera la surface homothétique de (S|) par rapport à O, le rapport de similitude étant égal au temps écoulé. Cela posé, imaginons que la seconde surface (S) soit une surface d'onde, c'est-à-dire qu'elle soit le lieu des points atteints au même instant par un mouvement vibratoire lumineux qui a son origine dans une source unique, mais qui peut avoir subi un nombre quelconque de réflexions ou de réfractions. Proposons-nous de déterminer les positions successives que prendra l'onde (S) qui se propage dans le milieu. D'après le principe de Huvgens, il faudra construire les surfaces d'onde, toutes égales, qui ont pour centres les différents points de (S) et qui correspondent à la même durée : leur enveloppe sera la position nouvelle de (S). 11 résulte de celte construction que les positions successives de l'onde (S) sont précisément les surfaces (S), (S'), . . . que nous venons de définir. Les

(') Pour tout ce qui coacerne ce sujet, consulter la solide étude de M. Lévistal Recherches d'Optique géométrique, insérée en 1867 au tome IV (i" série) des Annales scientijiques de l'École .Xormale supérieure, p. igô.

droites M[ji[ji.'... sont les ra^yons lumineux. La lumière se propage avec une vitesse uniforme sur chaque rayon; mais, comme elle met le même temps à passer de l'une à l'autre des positions de l'onde, la vitesse est différente sur les différents rayons. Elle ne dépend d'ailleurs que de la direction de ces rayons et demeure la même pour tous les rayons parallèles, dans le même milieu. Si le milieu est isotrope, la surface (S,) est une sphère; les rayons lumineux sont normaux à l'onde (S) et à ses positions successives. Convenablement transformée, cette propriété subsiste pour tous les milieux homogènes : dans chacun de ces milieux, il y a, entre la direction du rayon lumineux et celle du plan tangent en un de ses points à l'onde qui se propage, une relation constante qui dépend uniquement de la constitution du milieu et demeure la même quelle que soit la forme de l'onde (S). Gela est évident, car le rayon lumineux est parallèle à un certain rayon OM) de la surface d'onde caractéristique du milieu décrite de O comme centre, et le plan tangent de l'onde est toujours parallèle au plan tangent en M, à cette surface (S,).

Dans le cas des milieux isotropes, les développables formées par les rayons lumineux interceptent sur les différentes positions de l'onde un réseau conjugué; cette propriété s'étend aussi aux milieux homogènes quelconques. Les développables formées par les rayons lumineux découpent sur les positions successives de l'onde un réseau conjugué, cjui correspond à un réseau conjugué tracé sur la surface d'onde caractéristique du milieu.

Pour les milieux isotropes, la surface caractéristique étant une sphère, le réseau conjugué se réduit nécessairement à celui qui est formé par les lignes de courbure.