CHAPITRE \I

Problème de M. Christoffel. — Recherche de tous les cas dans lesquels la correspondance par plans tangents parallèles établie entre deux surfaces détermine un tracé géographique de l'une sur l'autre. — Différentes solutions déjà connues de ce problème; les surfaces homothétiques, deux surfaces minima quelconques. — Solution nouvelle. — Elle est fournie par des surfaces à lignes de courbure isothermes. — Théorème de Bour et de M. Christoffel. — Application aux surfaces minima. — Les surfaces dont la courbure moyenne est constante ont leurs lignes de courbure isothermes, c'est-à-dire elles sont isothermiques. — On peut faire dériver de toute surface isothermique une infinité de surfaces isothermiques nouvelles. — Formation de l'équation aux dérivées partielles du quatrième ordre qui caractérise les surfaces isothermiques. — Seconde propriété caractéristique : L'équation ponctuelle relative au système conjugué formé par les lignes de courbure doit avoir ses deux invariants égaux. — Applications.

429. Oa peut rattacher aux propositions que nous avons données dans le Chapitre précédent l'étude d une intéressante question qui a été posée et résolue par M. Clirisloflel ('). Proposons-nous de rechercher tous les cas dans lesquels la correspondance par plans tangents parallèles établie entre deux surfaces (S), (S,) peut donner une représentation conforme ou un tracé géographique de lune des surfaces sur l'autre.

Soient x,j', -:;; X4,^>'|, Zi les coordonnées cartésiennes rectangulaires des points correspondants sur les deux surfaces (S) et (S,). Prenons comme variables indépendantes p et c, les paramètres des deux familles conjuguées qui se correspondent sur les deux surfaces (-). Les formules (27) du Chapitre précédent nous

(') E.-B. Christoffel, Ueber einige allgemeine Eigenschaften der Minimumsjlàchen {Journal de Crelle, t. LVII, p. 218-228; 1867).

(») Nous écartons, on le voit, le cas exceptionnel où ces deux familles viendraient se confondre et se réduiraient à une famille de lignes asymptoliqucs. Le

y.\0 LIVRE

— CII.VP.

donneront d'abord

i ÔXi V Ox

' J ÔXy dx

(\Vi

ùp

'ôp

ùz,

ôp'

1 t/pi t/pi

et il faudra que l'on ait

( 2 ) dx l-^ dy\-r- dz] = k-{ dx- -f- dy- -i- dz^),

k désignant une fonction quelconque de p et de o^. Les équations (i) et (2) expriment toutes les relations qui doivent exister entre les deux surfaces (S) et (S,).

Introduisons, pour abréger, les quantités E, F, G définies j)ar la formule

( 3 ) dx^ -^dy'--~ dz '- =Edp'-— a F dp dp i— O dp\.

L'équation (2), dans laquelle on remplacera les dérivées de .T), jKi, ^1 par leurs valeurs déduites des formules (i), se décomposera dans les trois relations suivantes

( i ) ( À2 /,-2) E = o , ( À ,u — k-^) F = o, ( -Ji^ — /.2) G = o,

qui devront être vérifiées toutes les trois.

Les différentes solutions de ce système de trois équations simullanées appartiennent à l'un des types suivants :

G = o, X[ji — A'2 = o ;

;jl2— /:2 = o, F = o;

\x'- — A^ =0, , ).[JL — Â'2 = o ;

[0.2 — /i^ = o, )v[jL — /(-2 = 0 ;

,jl2/,2=o, F = 0.

Dans la première solution, E et G étant nuls, les deux familles conjuguées seront formées de lignes de longueur nulle; (S) et (S,) seront donc (n° 180) des surfaces minima. Deux surfaces minima quelconques nous donnent, en effet, une solution du problème proposé; cela a été démontré au n" 2LI [1, p. 829].

lecteur traitera facilement cette hypothèse; elle conduit seulement à deux surfaces homolhétiques ou aux surfaces imaginaires, considérées dans la Note du n° 116 [I, p. t'iS], et dont l'élément linéaire est un carré parfait.

La deuxième solution conduit à ces surfaces imaginaires pour lesquelles l'élément linéaire est un carré parfait. Nous pouvons la négliger.

La troisième et la quatrième entraînent la relation

Alors les formules (i) nous donnent

dxi = À dx, dyi = À dy. d^i = \ dz\

\ ne peut être qu'une constante : les deux surfaces (S) el (Si) sont homothétiques. Celte solution était évidente a priori.

430. Il nous reste donc seulement à examiner la dernière solution, qui nous donne, en écartant l'hypothèse déjà examinée a = <x.

La dernière équation exprime que les deux familles de courbes conjuguées (p) et (p,) se coupent à angle droit sur les deux surfaces. Ainsi le système conjugué {^), (p,) est formé des lignes de courbure des surfaces (S) et (S,). Nous allons étudier cette solution, qui est la seule véritablement nouvelle.

Toutes les relations entre les deux surfaces sont exprimées par les formules suivantes

dx dx

dr dy dz dz

dp dpi

' ■ dp dpi ' dp dpi

dxi à?

. dr

dz, dp

dx, à?i

. dx dpi

dp,- ^'dpr

dz,

- dz

dont nous allons examiner les nombreuses conséquences. On pourrait d abord éliminer X|,j>'i, z,. On a, en effet,

(8) U. = l('^dp-'^^dp^),

D. - II. i6

2(2 LIVRE IV. — Cil A P. XI.

et il suffira d'exprimer que les seconds membres sont des difFérentielles exactes. On trouvera ainsi que x, j^, z doivent être des solutions particulières de l'équation

(O) ■Xk r 1- r [- —- -r = O.

dp opi ypi (9p op opi

Cette équation n'est autre que l'équation ponctuelle relative au système conjugué formé des lignes de courbure de (S). Elle a d'ailleurs la forme la plus générale des équations dont les invariants sont égaux. Nous pouvons donc énoncer la proposition suivante, sur laquelle nous reviendrons plus loin :

Pour qiCune surface (S) soit une solution du problème proposé, il faut et il suffit que V équation linéaire aux dérivées partielles relative au système conjugué formé par ses lignes de courbure ait ses invariants égaux.

431. Cette propriété purement analytique peut recevoir une interprétation géométrique très simple.

Remarquons, d'une manière générale, que l'équation ponctuelle

op opi dp opi

relative à tout système conjugué tracé sur une surface, peut toujours être déterminée quand on connaît l'élément linéaire de cette surface. Soit, en effet,

(il) ds^=Edp^-\-'i.¥ dpdpi~Gdp]

l'expression de cet élément linéaire. Si l'on multiplie le premier

membre de l'équation (lo) par -j- et si l'on ajoute ensuite les trois

résultats que l'on obtient en remplaçant Q successivement par x, >', Zf on obtiendra la première des deux équations

l - -T \- aE -^' bt = O,

, , ] ^ àpi

1 r^ )pi

qui se déduisent l'une de l'autre par l'échange de p et de 0, et qui feront connaître a et b.

432. Appliquons cette proposition à l'équation (9) en remarquant que l'on a ici F = o. Les équations (12) prendront la forme

^?j^ ^^ G dl

à?i ' \ dp,-""^ Ij'^ï dp- *"'

d'où l'on déduit, en intégrant,

/■ désignant une fonction de o et /■, une fonction de z^. L'élément linéaire de (S) sera donc exprimé par la formule

(i3 ) ds'- = y ( /• dz^ -T- /•, rfpf ),

qui caractérise les systèmes isothermes. La surface (S) aura donc ses lignes de courbure isothermes; et il en sera de même, évidemment, de la surface (S,) dont l'élément linéaire, en vertu de la formule (2), aura pour expression

(i4) ds\=\{rdz'-—ridz\).

En réunissant tous les résultats précédents, on obtient le théorème suivant :

A toute surface (S) dont les lignes de courbure sont isothermes et dont Vêlement linéaire est déterminé par la formule

ds*=Urdzi~ridpl)

on peut faire correspondre une seconde su? face (S,) dont l'élément linéaire a pour expression

dsl=l{rdpi-r-ridpl),

et dont les lignes de courbure sont aussi isothermes.

De plus, on peut toujours placer les deux surfaces de telle manière que les plans tangents et les tangentes principales aux points correspondants soient parallèles.

433. Bour avait déjà établi la première partie de ce tliéorème

'i44 LIVRE IV. — CHAP. XI.

dans son Mémoire siw la déformation des surfaces ('). Les considérations par lesquelles il l'a établie offrent la plus grande analogie avec celles que M. Moutard a employées pour démontrer son théorème fondamental. Le fait s'explique aisément : à chacune des surfaces (S) et (S,) correspond une équation linéaire à invariants égaux; on passe de l'une à l'autre précisément par l'emploi de la méthode de M. Moutard. D'ailleurs le système

à:j dp âpi ôpi

qui est vérifié par les coordonnées correspondantes x et ^,, ou j' et jK) , ou ^ et ^, , des points des deux surfaces, est identique à celui que nous avons étudié au n° 39L

En appliquant le théorème précédent à la sphère, qui peut être regardée d'une infinité de manières comme une surface à lignes de courbure isothermes, Bour a montré que l'on retrouve les surfaces minima les plus générales; et nous avons déjà indiqué cette application au n° 205 [I, p. 3i3]. On peut retrouver immédiatement le théorème de Bour par l'intei'prétation géométrique du système (7).

Soient c, c', c" les cosinus directeurs de la normale en un quelconque des points correspondants des deux surfaces (S) et (S,). Soient R et R' les rayons de courbure principaux de (S), R, et R'j ceux de (S,) au point correspondant. Les formules d'Olinde Rodrigues nous donnent

dx -, àc dxi ^ ^ àc

) âp dp dp dp

j dx ^, de dxi de

hR'.— =0, -T hRi^-=o.

l àpi dpi dpi 'dpi

En substituant les dérivées de x et de :r, dans les formules (7), on trouve (,7) Ri = XR, R\=-U\'

et, par suite,

C) Journal de l'École Polyteehnique, XXXIX-^ Cahier, p. 118; 1862.

Si la surface (S) est une sphère, on aura R = R' et, par suite, R, -j-R'i = o; (S,) sera une surface minima. Si, au contraire, (S) est une surface minima, on aura R = — R' et, par suite, R, = R',; (S,) sera une sphère. On peut donc faire dériver de la sphère toutes les surfaces minima-, et les remarques précédentes constituent une véritable intégration de l'équation aux dérivées partielles de ces surfaces,

Proposons-nous'raaintenant de rechercher tous les cas dans lesquels la surface (S|) est parallèle à (S). Il suffira évidemment d'exprimer que les équations (-) sont vérifiées quand on y remplace j:,,j',, -Si respectivement par