X -T- rtc, y -^ ac\ z -r- a(f
a désignant une constante. On obtiendra ainsi des relations telles que les suivantes :
dx
dp
En éliminant — , -— au moyen des équations d'Olinde Rodrigues, dp dpt J ~L
on trouve
Il suffira donc que l'on ait
de ^ dx a — = A -— >
dx de . dx
dp dp
dpi dpi dpi
Ainsi la sur/ace (S) devra avoir sa courbure moyenne constante; et réciproquement à toute sur/ace (S) à courbure moyenne constante correspondra une surface (S,) qui sera parallèle à (S). La relation entre les deux surfaces étant réciproque, (S|) sera, elle aussi, à courbure moyenne constante.
Si l'on rapproche cette proposition des résultats précédents, on peut conclure que toute surface à courbure moyenne constante a nécessairement ses lignes de courbure isothermes. Nous reviendrons sur ce résultat, qui est du à M. Bonnet (').
(«) O. BoxxET, Mémoire sur la théorie des sur/aces applicables sur une surface donnée {Journal de l'Ecole Polytechnique, XLIl' Cahier, p. 77; 1S67).
434. Après avoir signalé les propriélés géométriques qui se rattachent ù l'étude du problème de M. ChristofFel, nous allons indiquer le parti qu'on peut en tirer dans la recherche des surfaces à lignes de courbure isothermes. Cette recherche constitue certainement un des problèmes les plus difficiles de la Géométrie; elle dépend, nous le verrons, de l'intégration d'une équation non linéaire du quatrième ordre. Les surfaces du second degré, les cyclides, les surfaces de révolution, les cônes et les cylindres, certaines surfaces à lignes de courbure planes dans un système qui dépendent d'une fonction arbitraire (*), les surfaces minima et, plus généralement, les surfaces à courbure moyenne constante ont leurs lignes de courbure isothermes. Toutes ces surfaces, auxquelles on peut ajouter celles qu'on en déduit par l'inversion la plus générale, ne constituent, cependant, que des solutions extrêmement particulières du problème proposé, qui doit conduire à des surfaces contenant quatre fonctions arbitraires dans leur équation. Bour, qui a considéré le premier les surfaces à lignes de courbure isothermes, annonce, dans la partie de son Mémoire que nous avons citée plus haut, que, de toute surface à lignes de courbure isothermes, on peut déduire une infinité de surfaces analogues, contenant dans leur équation deux fonctions arbitraires ; mais on reconnaîtra aisément que le raisonnement de l'éminent géomètre manque de généralité et s'applique à la sphère seulement.
Il existe toutefois un moyen de déduire de toute surface à lignes de courbure isothermes une infinité de surfaces nouvelles contenant dans leur équation autant de constantes arbitraires qu'on le veut. Il suffit, pour cela, de combiner les propositions précédentes avec l'application de l'inversion.
Désignons, pour abréger, sous le nom de surface isothermique toute surface à lignes de courbure isothermes. A toute surface isothermique (I), dont l'élément linéaire est donné par la formule
(19) ds'^=~(rdf^r,d^^\),
(') G. Darboux, Détermination d^ une classe particulière de surf aces alignes de courbure planes dans un système et isothermes {^Bulletin des Sciences mathématiques, 2" série, t. VII, p. 257; i883).
l'inversion fera correspondre une nouvelle surface isolhermique (F) dont l'élément linéaire aura pour expression
/ X j -. f dp-— ri dp]
(20) as-= — ' ' '
/.[i^x — a)^—{j — b)'--(z — cr-y-
X, y, z désignant les coordonnées rectangulaires du point de la surface (I) et a, b, c celles du pôle de l'inversion.
Or, d'après la proposition de Bour et de M. Christoflel, on peut, par de simples quadratures, déduire de la surface (!') une surface isothermique nouvelle (!') dont l'élément linéaire aura pour expression
(21) c?5'î= À[(.r — rt)î— ( y — by-— (z — cy]-{rdp^— ri dp\).
Si l'on recommence, avec celte surface (!'), les opérations que nous avons appliquées à la surface primitive (I), on introduira trois constantes nouvelles. On pourra donc, en répétant indéfiniment ces opérations, faire apparaître autant de constantes arbitraires qu'on le voudra.
L'expression de l'élément linéaire de (I") est entière par rapport aux constantes a, b, c. La même propriété appartient aussi aux coordonnées x", y", z" du point de (!'"). Si l'on pose, en efl'et,
(22; H={x—ay~{y—by--~{z — cy,
on verra facilement que l'on a
et des expressions analogues pour j", z". Ces formules mettent en évidence la propriété annoncée. Si on les applique, par exemple, aux surfaces de révolution, on sera conduit à une classe de surfaces dont les lignes de courbure sont planes dans un système. Les plans de ces lignes enveloppent un cylindre, et ces lignes ellesmêmes, qui sont rectifîables, sont identiques de forme à celles que nous avons considérées à la fin du n° 206 [I, p. 3i6].
L'application des méthodes précédentes semble être subordonnée à la détermination préalable des lignes de courbure de la surface; mais nous démontrerons plus loin qu'une surface isothermique étant donnée d'une manière quelconque, on peut toujours.
par de simples quadratures, intégrer V équation différentielle des lignes de courbure.
435. Dans un élégant article publié en i88o, M. J. Weingarten (') a montré que les surfaces isothermiques peuvent être définies par une équation du quatrième ordre à laquelle doit satisfaire une des trois coordonnées rectangulaires, considérée comme fonction des deux autres; et il a indiqué un moyen de former cette équation. L'emploi du système de coordonnées tangentielles étudié au Livre II [I, p. 245] permet d'obtenir un résultat équivalent et d'écrire sous une forme assez simple l'équation du quatrième ordre à laquelle doivent satisfaire les surfaces isotliermiques.
Employons, par exemple, le système défini au n° 16o [I, p. 245] et dans lequel l'équation du plan tangent est
ç étant une fonction de a et de j3. Si nous conservons toutes les notations de ce numéro, l'équation différentielle des lignes de courbure sera
(25) rd'x'^—td'^^ = o,
et l'élément linéaire de la surface se présentera sous la forme
( ds'^^{zd'u.-^rdq){zd'^ ^dp)
\ ^[{z^s)dx^ td^][{z + s)d'^^rd%'\,
où l'on a posé, pour abréger,
Les paramètres u et v des lignes de courbure seront définis par des équations telles que les suivantes
( 27 ) du = X (/r (ia — s/i d'^), dv = [j. (/r di -~ s/ld'f),
(') J. Weingarten, Ueber die Differentialgleichungen der Oberjlâchen, welche durch ihre Krûmmungslinien in unendlich kleine Quadrate getheilt werden konnen {Sitzungsbei'ichte der K. P. Akademie der Wissenschaften zu Berlin, t. II, p. 11 63; i883).
"k et u. devant être choisis de telle manière que les seconds membres soient des différenlielles exactes; et il faudra exprimer que l'élément linéaire de la surface peut être ramené à la forme
( 28) fis- =E{du- — ch-^).
En portant dans celte formule les valeurs de du et de dv, et en écrivant que l'expression obtenue est identique à celle qui est fournie par la formule (26), on obtient trois équations
E/-(Àî-+- uî) = /•(- — «),
2 E y/7i( a' —).*) = (^ — s)*- — rt,
qui se réduisent à deux, comme il fallait s'y attendre, et nous
donnent
,r', (- — 5 — V^ri)- ,„ , {z — s—\/rty- 4 E a2 = -: ■— , -i^i^-= ,—
Si donc on pose, pour plus de simplicité, (29) 4E=^
on aura
r — s — ^ rt z -r s — \ rt
et toute la difficulté se réduira à exprimer que, pour une même valeur de f), les deux expressions
- sfr d% — \/'t ffi .\/rd%— s/t c?3 z — s — y rt z — s — \/ rt
sont des différentielles exactes. Considérons, par exemple, la première^ en écrivant la condition d'intégrabilité, nous obtenons le résultat suivant
/-(JlogO / dloffd d\/r d\/i
— /'^ J3 •<>§(-- « - ^ri) - ^'t -\og{z ~ s - /Ft) = o.
Pour en déduire la condition d'intégrabilité relative à la seconde expression, il suffira de changer le signe de \ ^. On est ainsi con-
•i5o LIVRE IV. — CHAP. XI.
duit à deux équations qui permetlenL de calculer les deux dérivées et, par suite, la diflerentielle totale de logO. On trouve ainsi
et il suffira d'exprimer que le second membre est une différentielle exacte pour obtenir l'équation cherchée sous la forme
<^- , r () / 1 à , ( z -\- s -\- J rt
lo<r- ^ ' ' — '
ùx d'^ " /
s - - \/ rt s -+- \/rt
sfrt
On voit que cette équation est du quatrième ordre et qu'elle est linéaire par rapport aux dérivées de cet ordre. Toutes les fois qu'elle sera vérifiée, on pourra déterminer 0, ii^ v par des quadratures et, par suite, obtenir les lignes de courbure. Ce résultat est, d'ailleurs, un simple corollaire d'une proposition générale sur laquelle nous aurons l'occasion de revenir.
L'équation précédente, qui n'est irrationnelle qu'en apparence, donne lieu à quelques remarques intéressantes. D'abord il n'y apparaît que deux fonctions des dérivées de ^
r z -\- s -i- Jrt
- et — * •
— \/rt '
et ces deux fonctions ont vme signification très simple. La première fait connaître les deux valeurs du rapport ■—- relatives aux
lignes de courbure. La seconde représente, d'après les formules du n" 165, le rapport des deux rayons de courbure principaux de la surface. On peut ainsi vérifier immédiatement que les surfaces minima sont isothermiques. Le premier membre de l'équation (3o) se réduit alors au seul terme
SURFACES A LIGNES DE COURBURE ISOTHERMES. 25l
qui est nul, comme on le reconnaît en substituant les valeurs de /• et de t qui ont été calculées au n" 191 [I, p. 298].
4^36. La méthode que nous avons suivie pour former l'équation aux dérivées partielles des surfaces isothermiques peut être remplacée par la suivante, qui nous donnera quelques résultats nouveaux.
Si, entre les deux équations d'Olinde Rodrigues,
àx de ^^ . xi'^^ —
du du ' df ' dv
on élimine c, on trouvera l'équation
, d^x dp dx dp' dx '' '' du di' dv du du dv
OÙ l'on a désigné, pour plus de netteté, par p et p' les inverses de R et de R', c'est-à-dire les courbures principales. L'équation linéaire précédente est celle qui correspond au système conjugué formé par les lignes de courbure. Pour exprimer que la surface est isothermique, il suffira donc d'écrire que cette équation a ses deux invariants égaux, c'est-à-dire que l on a
En d'autres termes, l'expression
-^ dv r- du
dv ou (3i) ; T-
devra être une difierentielle exacte dQ. On peut donner des formes très différentes à cette condition. Si l'on retranche - <f log(p — p'), on aura
.^ .1 / rx dv du idQ-dlosip-p')^ ^,
En exprimant le second membre au moyen des coordonnées tangentielles (a, ,3, ^) employées plus haut, on trouvera, après un
calcul que nous omettons, que l'expression
Vt'^^^"^-\/'7'-^'"']
doit être une différentielle exacte. On est ainsi conduit à une forme nouvelle
t)(p + p')-| r àjp^p')-
de l'équation (3o).
Nous signalerons enfin une dernière transformation de la différentielle dû, qui a été donnée par M. Weingarten, Multiplions, dans l'expression (3i), le numérateur et le dénominateur du premier membre par p — p', afin de rendre le dénominateur rationnel, nous trouverons
(33) rf[0-log(p-p')]
d(pp')-~p
du
du
Celte relation permet d'écrire, en coordonnées ponctuelles, l'équation aux dérivées partielles des surfaces isotliermiques. Supposons, en effet, la surface définie par une équation de la forme
la plus générale
Des formules bien connues permettent d'exprimer oo', o -f- o', (p — p')- en fonctions rationnelles des dérivées de cp par rapport à X, y, Z-. Or, si l'on désigne par cr une fonction quelconque de ^, y, z, les formules d'Olinde Rodrigues conduisent, par un calcul facile, à la relation suivante
P -- du ' du
di , d^ 1 drs , , de , „
p' —di> = ^ de — — de — — - de .
^., -'^ (}y dz
dv
dx
En remplaçant a- par p -{- p' et en se reportant à l'équation (33), on reconnaît immédiatement que d\ù — log(p — o')] prend la forme
d{pp'
dx
^'ide-'^-^^-^n^de'.
Supposons Texpression précédente ramenée à la forme
Pour exprimer qu'elle est une différentielle exacte lorsqu'on se déplace sur la surface, on écrira la condition
^-^^ d^\dz dj) ' ^[dx dzj ■ dz\dy ôx)~^-
qui devra être vérifiée pour chaque point de la surface. Telle est l'équation obtenue par M. Weingarten.
437. De quielque manière qu'on la forme, l'équation aux dérivées partielles précédente paraît être d'une intégration difficile. Mais il résulte des propositions que nous avons établies une méthode nouvelle de recherche des surfaces isothermiques qui peut conduire sans effort à un grand nombre de ces surfaces. Elles sont caractérisées, nous l'avons vu, par la condition que l'équation ponctuelle relative au système conjugué formé par les lignes de courbure ait ses invariants égaux. Si l'on écrit cette équation sous la forme la plus générale en y remplaçant Q par u.9, on obtient (n*^ lo4) [I, p. 221] l'équation à laquelle satisfont les cinq coordonnées pentasphériques dun point de la surface, considérées comme fonctions des paramètres p et s, des lignes de courbure. En rapprochant tous ces résultats, nous pouvons donc énoncer les propositions suivantes :
Les cinq coordonnées pentasphériques d'un point de toute surface isotherniique considérées comme fonctions des paramètres p et pi des lignes de courbure satisfont à une équation linéaire du second ordre dont les invariants sont égaux.
Inversement, si une équation de la forme
dp dpi
= Xô,
ou, plus généralement, une équation à invariants égaux, admet cinq solutions particulières X|, Xo, ..., x^ liées par Véquation
Xr = O,
>.5î LIVRE IX. — CIIAP. VI,
les quantités xi sont les coordonnées pentasphériques qui définissent une surface isothermique rapportée à ses lignes de courbure (' ).
Cette proposition permet, par exemple, de reconnaître immédiatement que les cyclides, pour lesquelles les cinq coordonnées Xi sont définies par les formules
OÙ nous conservons les notations du n° 154 [I, p. 228], sont des surfaces isothermiques. Car les cinq coordonnées précédentes sont
des solutions particulières de l'équation E ( — -, \ (n" 3o6)
dont les invariants sont égaux.
Pour donner une application du théorème précédent, considérons l'équation
d^ àpi
qui est la plus simple de toutes celles dont les invariants sont égaux. Son intégrale générale étant de la forme
on voit que l'on obtiendra une surface isothermique si l'on peut trouver cinq fonctions /i{p) et cinq fonctions cp/(p,), telles que l'on ait
[//(?) + 'fK?i)]'=o.
Les équations de ce genre contenant des fonctions arbitraires d'arguments différents se rencontrent souvent en Géométrie. Nous laisserons au lecteur le soin de résoudre la précédente, nous contentant d'indiquer le résultat, qui donne les cônes généraux, les
(•) Rapprocher cette proposition des résultats obtenus par M. Cayley dans une Note Sur les sur/aces divisibles en carrés par leurs courbes de courbure et sur la théorie de Dupin, insérée en 1872 au tome LXXIV des Comptes rendus de l'Académie des Sciences, p. il\t\ô. Consulter aussi l'article Sur un point de la théorie des sur/aces, publié à la page i5i7 du même tome par M. CoMBiiscuRE.
surfaces de révolution et les transformées par inversion de ces deux séries de surfaces.
Lorsqu'on aura obtenu une solution du problème, c'est-à-dire déterminé cinq fonctions Xi satisfaisant à l'équation
(35) -rrrr = ''^'
on en pourra déduire une infinité de solutions nouvelles. Il suffira d'introduire la solution particulière
où les constantes Oi sont liées par la relation
et d'employer cette solution to pour passer, en suivant la méthode de M. Moutard, à une nouvelle équation de la forme (35) qui donnera à son tour de nouvelles surfaces isothermiques. Ce procédé analytique, que nous signalons rapidement, n'est autre que la traduction des opérations géométriques indiquées plus haut au n° 434.
