CHAPITRE XIJ

TRAJECTOIRES ORTHOGONALES d'uKE FAMILLE DE SURFACES.

Condition pour que les courbes d'une congruence définie par deux équations différentielles du premier ordre soient normales à une famille de surfaces. — Interprétation géométrique de la relation analytique à laquelle on est coiduit. — Condition nécessaire et suffisante pour que les droites d'une congruence soient les normales d'une surface. — Propriétés relatives aux deux nappes de la surface des centres de courbure. — Intégrale première, obtenue par la Géométrie, de l'équation différentielle des lignes gcodésiques tracées sur une surface du second degré. — Étude du cas où l'une des nappes de la surface des centres se réduit à une courbe. — Surface à lignes de courbure circulaires; cyclide de Dupin. — Condition pour que les courbes d'une congruence admettent une famille de surfaces trajectoires orthogonales lorsqu'on connaît les équations en termes finis qui définissent chaque courbe de la congruence.

438. Nous allons maintenant continuer l'étude des congruences de courbes en nous plaçant à un point de vue nouveau. Nous chercherons la condition pour que les courbes d'une congruence donnée soient les trajectoires orthogonales d'une famille de surlaces.

Considérons d'abord une famille de surfaces définie, en coordonnées rectangulaires, par l'équation

si l'on se propose de déterminer leurs trajectoires orthogonales, on aura à intégrer le s ystème d'équations différentielles

dx

dv

dz

àf ~

dx

ùy

ôz

Les deux, intégrales de ce système contiendront deux constantes arbitraires et détermineront, par conséquent, une congruence de courbes qui couperont à angle droit les surfaces considérées.

Donnons-nous maintenant une congruence de courbes, et sup-

TRAJECTOIRES ORTHOGONALES d'iXE FAMILLE DE SURFACES. 237

posons d'abord que les courbes qui la composent soient définies seulement par leurs équations différentielles, qui seront de la forme

X, Y, Z étant des fonctions données de x, r, :•. S'il existe une surface (S) coupant à angle droit toutes les courbes, on aura, pour chaque point de cette surface,

p el q désignant les dérivées de r considérée comme fonction de X et de )'.

On voit qu'il n'existe pas, en général, de surface normale à toutes les courbes de la congruence; car les deux équations (4) peuvent être envisagées comme deux équations aux dérivées partielles auxquelles doit satisfaire une même fonction 3 de j: et de y., et deux telles équations nont pas, en général, de solution commune. C'est ce que montre, du reste, le raisonnement suivant.

S'il existe une fonction ;; satisfaisant aux deux équations (4\ les

valeurs de ^> ^> obtenues en différentiant ces deux éauation";, ay ax n >

devront être égales; on devra donc avoir

^ (z ) -^k^'z^'J^ t ( z) -^ Tz i\)P-

En développant et en remplaçant p el q \3X Isurs valeurs tirées des équations (4), on trouve

Supposons d'abord que cette condition ne soit pas vérifiée identiquement. Alors elle fera connaître z, et il faudra chercher si les valeurs de :: quelle détermine satisfont aux équations (4). Cela peut arriver; mais il n'est pas démontré, et il n'est pas vrai en général, que les valeurs de z définies par l'équation (5) soient, D. — II. 17

en lolalilé ou en parlie, des sokilions communes des équalions (4). Ainsi :

Ouand V équation (5) n'aura pas lieu identiquement, les courbes de la congruence ne pourront être normales qu'à un nombre limité de surfaces fournies par les valeurs de z qui satisfont à cette écjuation ; mais, si aucune de ces valeurs de z n'est solution commune des équations {^)^ il ny aura aucune surface coupant à angle droit toutes les courbes de la congruence.

Considérons, par exemple, le système d'équations différentielles

dx dy __ dz