X -^ h z — cy y -^ ex — az z ^ a y — bx

La condition (5) se réduit ici à la suivante

ax -+- hy -1- c^ = o,

et il est aisé de voir que les équalions (4) ne sont pas vérifiées lorsqu'on y substitue la valeur de z qui est définie par cette équation.

439. Supposons maintenant que l'équation (5) soit identiquement vérifiée; dans ce cas, les deux équations (4) admettront une solution commune qui contiendra une constante arbitraire.

Il suffit, pour le démontrer, de répéter un raisonnement déjà lait au Livre L Considérons une fonction quelconque z satisfaisant à la première des équations (4)- LUe ne vérifiera pas, en général, la seconde de ces équations. En tenant compte de la première et de l'identité (5), on sera conduit à la relation

ùxX"^ Z ^ dzVL IV ' Z

qui aura lieu pour toutes les valeurs de x et dey. On déduit de là

Y / Y\ "Ckh'-

l'indice o indiquant la valeur de q -{- ^ pour x = Xq. On voit

TR.UECTOIRES ORTHOGONALES d'uXE FAMILLE DE SURFACES. 2.5()

donc que, si q ~r- j est nul pour x = jCo quel que soil y^ il sera nul pour toutes les valeurs de x et de )'. Ainsi :

Toute/onction z satisfaisant à la première des équations (4) pour toutes les valeurs de x et de y, et à la seconde de ces équations pour x=^X(it satisfera aussi à celte dernière équation pour toutes les valeurs de x et de y.

D'après cela, faisons x = j"o dans la seconde équation (4), et déterminons la fonction z•^ à^ y qui satisfait à cette équation et se réduit à ^o pour j)- =j>'o- Cette fonction ^i contiendra la constante arbitraire :;o- Puis déterminons une fonction z satisfaisant à la première équation (4) et se réduisant à z, pour x = x^. En vertu de la proposition précédente, celle fonction z^ qui dépend de la constante ;„, satisfera également aux deux équations (4)-

Toutes les fois que l'équation (5 ) sera identiquement vérifiée, il y aura, on le voit, une famille de surfaces coupant à angle droit toutes les courbes de la congruence considérée. Soil

f{T,y,z)^rL

l'équation de cette famille de surfaces. On pourra déterminer la fonction y"(iC, 1', :;) par les trois équations

ox ^y <*-

En ésralant les différentes valeurs de / • , • • • que l'on peut dé-

duire de ces équations, on verra que a doit satisfaire aux trois équations

(fy Ox

\0y Ox J

Ox Oz

, dZ d\\

' Ox oz '

On retrouverait la condition (5) en ajoutant ces équations après les avoir multipliées respectivement par Z, X. Y. Supposons, par exemple, que 1 on ait

26o LIVRE IV. — CH.VP. XII.

Les formules (6) nous montrent tout de suite que l'on pourra prendre X ^ i , et l'on aura

f{x, y, z) =J o{x) dx ^ \^{y) df-^jy{z)dz.

440. Après avoir obtenu, sous la forme (5), la condition pour que les courbes d'une congruence admettent des surfaces trajectoires orthogonales, il nous reste à interpréter celte condition et à la traduire par une relation géométrique équivalente. Commençons par considérer une famille de surfaces (S) et leurs trajectoires orthogonales (G). Soit M un point quelconque de l'espace par lequel passe une surface (S) et une courbe (C). Considérons toutes les surfaces (S), engendrées par des trajectoires orthogonales, qui contiennent cette courbe (C); et cherchons toutes celles de ces surfaces (S) qui admettent en M pour une de leurs directions principales la tangente à la courbe (C). La seconde direction principale sera, évidemment, la tangente commune en M à (S) et à (S); et, comme ces deux surfaces se coupent à angle droit, cette tangente commune ne peut être direction principale de (S) sans l'être en même temps de (IS) ('). Ainsi :

Quand les courbes d'une congruence sont normales à une surface (S), toutes les surfaces de la congruence qui passent en un point M de (S) et admettent en ce point la normale à {yi) pour direction principale forment deux séries distinctes,

C) Considérons, en effet, les représentations sphériques des deux surfaces (S), (S) sur une même sphère. La courbe d'intersection (T) aura deux représentations distinctes (y), (y') suivant qu'on la regardera comme appartenant à l'une ou à l'autre des deux surfaces (S), (S); et les points iti, m' qui se correspondent sur ces deux courbes sphériques, c'est-à-dire qui sont les représentations sphériques d'un même point M de (T), seront toujours à une distance égale à un quadrant. La langenle MT en M à la courbe (F) étant, par hypothèse, une tangente principale de (S), la courbe décrite par le point ni' aura sa tangente m' f' en m' parallèle à MT (n" 142) et, par suite, perpendiculaire à l'arc de grand cercle mm'. Or on sait que, lorsqu'un arc de cercle de longueur invariable se meut sur la sphère, il ne peut être normal à la courbe décrite par une de ses extrémités sans être normal à la courbe décrite par l'autre extrémité m. Il résulte de là que la tangente mt en m à la courbe décrite par ce point est aussi perpendiculaire à l'arc mm' et, par suite, parallèle à la tangente MT. II est ainsi établi que MT est aussi une tangente principale de (S).

TRAJECTOIRES ORTHOGONALES d'uNE FAMILLE DE SURFACES. iGl

admettant au point M deux plans tangents rectangulaires \^qui sont les plans principaux de (S)].

Nous allons maintenant démontrer la réciproque, et prouver que cette relation géométrique est équivalente à l'équation (5). Reprenons pour cela les équations différentielles des courbes de la

congruence

dx dy dz

xT ^ Y "" z *

Les surfaces engendrées par ces courbes devront satisfaire à l'équation linéaire

Si l'on veut exprimer qu'une de leurs directions principales au point {x^y, z) est la tangente à la courbe de la congruence, il faudra, dans l'équation différentielle des lignes de courbure

dx -f-/) dz dy — q dz

dp dq

remplacer dx, dv, dz par X, Y, Z, ce qui donnera