X-^pZ \—qZ

\-hsY s\ — t\

En différentiant l'équation (8) successivement par rapport ax et à y, on obtiendra les valeurs de

r\-hs\\ s\-^tY

en fonction des dérivées premières; et ces valeurs, portées dans l'équation (g), nous donneront

(lo)

dZ ^^ ^ '^^ ^ ^^ ^ ^^ ^

dx ~ dx ^ Ox Oy Oy ' Oy oz ^ dz -' Oz

Cette équation du second degré par rapport à p e\. à q, jointe

à l'équation (8), définira deux systèmes de valeurs de p et de q.

Supposons, par exemple, que l'on ait pris le point considéré

•26?. I, IVIU; IV. — en A p. XII.

pour origine des coordonnées et la tangente à la courbe de la congruence pour axe des x. On aura

(il) lY^-ax-^hy-^cz-r-...,

L'équation (8) donnera

/> ^ o, et l'équation (lo)

(lî) cq'^-^{b — c' )cj — h'=o.

Aux deux valeurs de q correspondent deux plans tangents; les surfaces qui satisfont à la condition proposée doivent être tangentes à l'un ou l'autre de ces plans.

Avec les valeurs (i i) de X, Y, Z, la condition (5) se réduit à la

et elle exprime, par conséquent, que les deux plans définis par l'équation (12) sont perpendiculaires. Nous obtenons donc la proposition suivante :

Etant donnée une congruence cjuelconque, les surfaces de la congruence qui sont assujetties à contenir une courbe (R) de cette congruence et à admettre en un de ses points M la tangente MT à la courbe comme direction principale forment deux séries distinctes et sojit tangentes à deux plans différents passant par la droite MT. Réciproquement, toute surface de la congruence tangente en M à un de ces deux plans satisfait à la condition proposée.

Pour que les courbes de la congruence admettent des surfaces trajectoires orthogonales, il faut et il suffit que les deux plans précédents soient toujours rectangulaires (').

C) On peut proposer une autre interprétation géométrique de la condition d'orttiogonalité. Étant donnée la courbe (K) et un point INI déterminé de cette courbe, considérons les courbes infiniment voisines de la congruence, et prenons sur cliacune d'elles le point M' pour lequel la tangente à cette courbe vient rencontrer la tangente en M à la courbe (Iv). Le lieu des points M', ou mieux le lieu des droites MM', est un cùnc du second degré contenant la tangente en M:

TRAJECTOIRES ORTHOGONALES u'iNE FAMILLE DE SIRFACES. '>.C)'i

441. Pour montrer par des exemples l'iililité de la proposition précédente, supposons que l'on connaisse deux, familles de surfaces orthogonales se coupant mutuellement suivant des lignes de courbure communes. Si l'on considère la congruence formée par toutes ces lignes de courbure, la condition précédente sera évidemment vérifiée : il existera donc une troisième famille de surfaces coupant à angle droit les lignes d'intersection et, par conséquent, les surfaces des deux premières familles. Ainsi :

Lorsqu'on a deux familles de surfaces se coupant mutuellement à angle droit, et suivant des lignes de courbure communes, il existe nécessairement une troisième famille de surfaces qui forme avec les deux premières un système triple orthogonal.

Supposons encore que la congruence soit formée de droites. Toutes les surfaces de la congruence passant en un point M d'une droite {d) de la congruence admettront cette droite pour tangente asvmptotique. Mais elle sera, en même temps, direction principale si la surface réglée est lune des surfaces développables de la congruence. Donc :

La condition nécessaire et suffisante pour que les droites d'une congruence soient les normales d'une surface est que les développables de la congruence se coupent à angle droit.

C'est là une proposition très importante au point de vue géométrique (') et dont il sera utile de développer les conséquences.

Nous savons que les droites d'une congruence sont, en général, tangentes à deux surfaces (S), (S'). Des deux familles de développables, les unes ont leurs arêtes de rebroussement (C) sur la pre-

nous laisserons au lecteur le soin de le démontrer. Pour que les courbes admettent des trajectoires orthogonales, il faut et il suffit que les deux droites d'intersection de ce cône par le plan normal à la courbe (K) soient rectangulaires, c'est-à-dire que le cône soit éqiiilatère.

(•) Elle était connue de Malus et de Dupin: mais elle a été établie pour la première fois, d'une manière complète, par M. J. Bertrand, dans le Mémoire sur la théorie des sur/aces inséré en i8i4 a« Journal de Liouville, (i" série, t. IX, p. i33).