LIVRE IV. — Cil AI'. XII

mièrc surface et touchent Ja seconde surface suivant des courbes (D'); les autres touchent la première surface suivant des courbes (D) conjuguées des courbes (G) et ont leurs arêtes de rebroussement (C), conjuguées des courbes (D'), sur la seconde surface. Si donc les deux séries de développables se coupent à angle droit, les courbes (G) et les courbes (G') auront, en chaque point, leur plan osculateur normal à la surface sur laquelle elles sont tracées. Les lignes qui sont tracées sur une surface et qui satisfont à cette condition que leur plan osculateur soit toujours normal à la surface ont reçu le nom de lignes géodésirjues. 11 résulte donc de ce qui précède la proposition suivante :

Quand des droites sont normales à une surface, les arêtes de rebroussement des développables formées avec ces droites sont des lignes géodésiques de celle des nappes de la surf ace focale sur laquelle elles sont tracées.

Réciproquement, les tangentes à une famille de lignes géodésiques tracées sur une surface sont les normales d'une autre surface. Dans ce cas, en effet, les plans focaux de chaque tangente sont le plan tangent à la surface et le plan osculateur de la ligne géodésique ; et ces deux plans sont rectangulaires, d'après la définition même des lignes géodésiques.

Ges propositions sont immédiatement applicables dans l'étude des lignes de courbure. Gomme conséquence des remarques précédentes, nous obtenons les résultats suivants.

Soient (S) une surface donnée, (S) et (S') les deux nappes de la surface des centres de courbure de (S). Toute normale en un point M de (S) est tangente en un point G à (S), en un point G' à (S'); G et G' sont les centres de courbure principaux. Toutes les surfaces réglées, engendrées par des normales de (S), qui contiennent la normale en M sont tangentes en G à la nappe (S) et en (G') à la nappe (S'). Les plans tangents en G et en G' sont rectangulaires; ce sont les plans principaux de (S) pour le point M.

Si l'on se déplace sur une des lignes de courbure, la normale à la surface engendrera une surface développable dont l'arête de rebroussement, lieu du point G par exemple, sera une ligne géodésique de (S); cette développable sera tangente à la nappe (S')

TRAJECTOIRES ORTHOGONALES d'uXE FAMILLE DE SURFACES. "iCS

en tous les points de la courbe (D') décrite par le point C Si l'on se déplace de même sur l'autre ligne de courbure, le centre de courbure correspondant C décrira sur la nappe (S') une ligne géodésique, arête de rebroussement de la développable engendrée par la normale; cette développable louchera la première nappe (2) en tous les points d'une courbe (D) décrite par le point C.

Si, plaçant l'œil en un point quelconque, on regarde dans la direction de l'une des normales de (S), les deux nappes de la surface des centres paraîtront se couper à angle droit.

Réciproquement, étant données deux surfaces (2), (S), s'il existe des tangentes communes à ces deux surfaces, formant une congruence et telles que les deux surfaces paraissent se couper à angle droit lorsqu'on regarde dans la direction de l'une de ces droites, ces tangentes communes seront les normales d'une surface.

442. Cette dernière proposition trouve une application très intéressante dans la théorie des surfaces du second degré. On sait, en effet, qu'étant données deux surfaces homofocales du second ordre (S), (S'), elles paraissent se couper à angle droit quand on les regarde d'un point quelconque de l'espace; en d'autres termes, les cônes de même sommet circonscrits aux deux surfaces sont orthogonaux. 1! suit de là que les tangentes communes à deux surfaces homofocales quelconques sont les normales d'une famille de surfaces parallèles. Les arêtes de rebroussement des développables formées par ces tangentes communes seront donc des lignes géodésiques de celle des surfaces (-), ( 1') sur laquelle elles sont tracées.

Ces simples remarques donnent immédiatement l'intégrale première de l'équation différentielle du second ordre qui caractérise les lignes géodésiques dans le cas des surfaces du second degré. Adjoignons, en effet, à la surface donnée (-) une surface homofocale (- ). L'équation différentielle du premier ordre qui définit les lignes de (S) dont les tangentes sont aussi tangentes à (S') sera, évidemment, une intégrale première de l'équation différentielle des lignes géodésiques; car elle contient une constante qui dépend du choix de (2'). Nous reviendrons plus loin sur ce sujet au Chapitre XIV et nous montrerons que les remarques précé-

•>.66 MVIU-: IV. — CH.vp. xii.

(lentes conduisent à la détermination complète des lignes géodésiques pour les surfaces du second degré.

443. Les propositions que nous venons d'établir se rapportent au cas où la congruence formée par les normales admet une véritable surface focale. Il peut arriver que les nappes de la surface focale se réduisent à des courbes; on obtient sans difficulté la définition géométrique des surfaces correspondantes.

Supposons, en effet, que les normales à une surface rencontrent toutes une courbe (C). Alors il en passera une infinité par chaque point M de (C); et, comme toutes ces normales forment un cône, qui est une surface développable, leurs pieds décriront une ligne (le courbure de la surface; de plus elles seront toutes de même longueur. La splière décrite du point M avec un rayon égal à la longueur d'une de ces normales sera donc tangente à la surface considérée en tous les points d'une courbe; et, par suite, cette surface est l'enveloppe d'une sphère de rayon variable dont le centre décrit une courbe (C). Réciproquement, il est évident que toute surface susceptible de ce mode de génération jouira de la propriété indiquée.

Dans ce cas, l'une des nappes de la surface focale se réduit à une courbe; l'autre nappe est, en général, une véritable surface dont on peut donner la génération suivante.

Considérons une sphère variable dont le centre (^, r, :■) décrit une courbe (C) et dont le rayon R est une fonction de la position du centre sur la couibe (C). Elle enveloppera une surface (S) dont on obtiendra l'équation en éliminant le paramètre variable entre les deux éc|uations

i {X~x)dx-{-{Y —y)df -^ (Z -- ^ ) clz -^-^ \\ d\\ = o.

Ces deux équations, prises simultanément, représentent une des lignes de coui'bure circulaires de la surface. L'équation

^'•) r.v ^dx ^^ dy ^., dzX

que l'on obtient en les combinant et ([ui est homogène par rap-

TRVJECTOIBES ORTGOGON\LES u'iNE FAMILLE DE SIRFACES. 267

port à X — .r, Y — j', L — -z^ représente évidemment le cône de révolution formé par les normales en tous les points de cette ligne de courbure circulaire. Par suite, en prenant l'enveloppe de ce cône, on devra retrouver la deuxième nappe de la surface des centres de courbure. Associons à Téquation précédente sa dérivée par rapport au paramètre; nous aurons

r flT*-—dy''-^dz*- ,.. cl [dx\ "1

Le premier facteur, égalé à zéro, nous donne une surface imaginaire qui est l'enveloppe d'un plan tangent à la courbe (C) et au cercle de l'infini ; le second

/ E ,^- <^l t^^\ dx^->t- dr-— dz-

fait connaître la courbe de contact du cône avec la surface des centres ou le lieu des centres de deuxième courbure correspondants à tous les points de la ligne de courbure circulaire; ce lieu, on le voit, sera une conique.

Ainsi la deuxième nappe de la surface des centres sera une surface engendrée par des coniques et telle que le plan tangent en tous les points de cliaque conique enveloppe un cône de révolution.

4ii. La proposition précédente permet de définir immédiatement la surface dont les normales rencontrent deux courbes (C), (C). En effet, (C) devra contenir les centres de courbure principaux situés sur toutes les normales passant par un point de (C ). Donc ( C) sera une conique, il en sera de même de ( C ) ; et chacune de ces deux coniques devra être le lieu des sommets des cônes de révolution passant par Vautre.

On sait qu'il existe deux coniques satisfaisant à ces conditions : ce sont \es focales de Dupin. Si nous nous contentons d'étudier le cas le plus général, la première est une ellipse, qu on peut

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définii^ par les équations

Taiilre est une hyperbole

Prenons un point quelconque M'(jr', y') sur la première, un point quelconque M"(.r", ;:") sur la seconde. On trouvera facilement

v/«2 Ijl

et, par suite, les deux splicres qui ont leurs centres respectivement sur les deux focales et qui sont définies par les équations

sont constamment tangentes l'une à l'autre, la distance de leurs centres étant toujours égale à la somme ou à la différence de leurs rayons. Elles enveloppent, par conséquent, la même sur/ace; et cette surface répond évidemment aux conditions posées : par suite de son double mode de génération, ses normales rencontrent nécessairement les deux coniques (').

La \ariation de la constante A" fera connaître toutes les surfaces parallèles dont les normales rencontrent les deux coniques.

Le moyen le plus simple de définir la surface précédente à laquelle Dupin avait donné le nom de cyclide, mais que nous nommerons cyclide de Dupin pour la distinguer des cyclides les plus générales, consiste à employer les coordonnées tangentiellcs.

L'équation tangentielle de la première sphère est

ux -+- vy -\- p = X -i- k,

(') Nous avons déjà employé ces propositions de DuriN aux n"' 103 et lOi r, p. 129].

TRAJECTOIRES ORTHOGONALES u'iNE KAMILI.E DE SURFACES. uCçj

en supposant

L'enveloppe sera donc définie par l'équation

(20) a*-(u - ^""'"^'V-^- bU-^-=(p - A-)'-.

On trouverait de même, en employant la seconde sphère, l'équation

évidemment équivalente à la précédente; car, en la retranchant de cette équation, on obtient l'identité

b-{ll--r- V-^ W- — l'» = O.

44o. Jusqu'ici nous avons défini les courbes de la congruence par leurs équations différentielles. Supposons maintenant que l'on connaisse leurs équations en termes finis; et commençons par le cas le plus simple, celui où ces équations sont résolues par rapport aux constantes arbitraires.

Soient

^"^ ib = '.ix,y,z)

les équations des courbes de la congruence. On déduit de là par la différentiation

djT dy dz

da db da db da db ôa Ob Oa àb da db dp dz dz ày dz dx dx dz dx dy dy dx

Appliquons l'équation (5) en y remplaçant X, Y. Z par

da db da db da db da db da db da db dy dy dz dz ' dz dx dx dz ' dx dy dy dx '

nous trouverons ainsi

/da db da db\r à /da ^^ ^\ 1 /^ ^^ ^\1-i...= o

\dydz~dzd}}ldz\dzdx dx dz) dy\dxdy dydxjy"'

les termes non écrits se déduisant des précédents par des pernm-

lalions. La relation paraît compliquée, mais on peut lui donner une forme assez élégante

les différentielles totales <^ se rapportant à un déplacement effectué sur la courbe même de la congruence.

Soit, par exemple, une congruence définie par les formules

1^'équatlon à laquelle il s'agira de satisfaire sera

(?''f"i - ?'>i) dx -1- iffl—ffl) dy -+- (-y -y; - ^'><h\) dz = o.

11 faudra donc que la fonction

f( î' ? 1 - ?" ?'i ) dx -^-fif'f'î - /"/;) df -^f{ V Vi ~ V ^\ ) dz

soit constante en tous les points de chacune des courbes; ce qui exige, on s'en assure aisément, qu'elle soit une combinaison linéaire à coefficients constants des seconds membres des équations (aS).

On obtient ainsi les équations de condition

!(p' es'; — cp" cp'j = m Ci' ^ n cs'i , ffl-f"fl= 'nf-^nfi

où m et n sont deux constantes, et qui feront connaître les fonctions 'f i,/i, ^1 lorsqu'on se donnera arbitrairement/, ce, 'l.

Ces équations sont vérifiées si l'on considère la congruence définie par les formules

il suffit de remplacer m et n par zéro. Alors les surfaces trajectoires orthogonales auront pour équation

?-T)/^,-(ï-'>/7fe-"-?)/.4T = — ■