THVJECTOIRES ORTHOGONALES D UNE FAMILLE DE SURFACES. .>7I
446. Écrivons mainlenanl les équations de la congruence sous la forme plus générale
On calculera successivement les dérivées de rt et de 6 par rapport À X, à y el à z., et on les portera dans l'équation (22). On obtient ainsi le résultat suivant
ox ox
Oa
Af '
dx dx
da
"^tb
da
Ob
da
db
do Oa
tb :
do da
db
où les difTérentiations se rapportent encore à un déplacement effectué sur la courbe et où l'on a posé, pour abréger,
s4)*> ^=ssâ- G=s(
dx}
le signe S indiquant toujours une somme étendue aux trois coordonnées.
La forme même de l'équation (26) nous conduit à une remarque analogue à celle qui a été développée au n° 313. Supposons, pour fixer les idées, que les courbes de la congruence soient algébriques : -f-1 -TT» -T^» -rf seront des fonctions de desrré déterminé ^ ^ da db da db ^
et, par suite, le nombre des points de cliaque courbe de la congruence qui satisfont à la relation (26) dépendra de la nature de la courbe plutôt que de la manière dont a el b entrent dans les coefficients. Soit/? le nombre des points ainsi obtenus; on pourra énoncer le théorème suivant :
Les courbes de la congruence ne peuvent être normales à plus de p surfaces sans être normales à toute une famille de surfaces.
Supposons, par exemple, que les courbes de la congruence soient planes et de l'ordre m. Prenons pour plan des xy le plan qui contient l'une des courbes et supposons que la première
équation /= o représente le plan de la courbe. On aura des résultats de la forme suivante :
da
ny
Si Ton suppose que la seconde équation delà courbe représente
le cylindre qui la projette sur le plan des xy^ o, -^ = es,, -| =: ci^
seront trois fonctions quelconques de x et de y. L'équation (26 prendra alors la forme suivante
[(sr+(i)'][\s
ùy
ôx ^ dy ) dy
ôx
'tr àx
do 2
A, B, C étant trois constantes qui dépendent de /;?, n, q; m', n\ q' . L'application du théorème des fonctions homogènes j)ermet de réduire cette équation au degré 3(/;i — i). On aura donc ici
Pour les congruences de cercles, on peut prendre
et cp,, cso se réduisent, on le verra aisément, à des fonctions du premier degré. On a alors
/do Y- /do\-i
el le déterminant qui figure dans la relation ( 28) peut se ramener au premier degré; le premier membre de celte relation se réduit donc au premier degré et l'on a
TRAJECTOIRES ORTHOGONALES d'iXE FAMILLE DE SCRFACES. i'^
On est ainsi conduit au théorème suivant :
Lorsque les cercles d'une congruence sont normaux à plus de deux surfaces, ils coupent à angle droit toute une famille de surfaces,
qui a été donné par M. Ribaucour et que nous démontrerons plus loin, avec tous les développements qu'il comporte, par une analvse plus élégante.
Lorsque les fonctions f et s sont, Tune et l'autre, de degré supérieure i, on peut encore, en introduisant les coordonnées homogènes x^y, 5, t, abaisser le degré de la condition (26), Si, pour abréger, on désigne par (P, Q) le déterminant fonctionnel des quatre fonctions P, Q,/, s, considérées comme dépendant des variables homogènes x,y, z, t, on pourra mettre l'équation (26) sous la forme suivante :
dx\dx J ày\dy J dz\dz J
m^n /d^ do\ m -^ n / df àf\ n \da' db / ' m \da^ Ob ) ~ ''
m et n étant les degrés de / et de 3, et A désignant le déterminant
df do df do
da db db da
Le premier membre de l'équation précédente est du degré 3(m H- n — 2) par rapport aux coordonnées x, y^ z^ t. Par suite, si une congruence est formée des courbes qui sont l'intersection complète de deux surfaces d'ordres m et /?, les courbes de la congruence ne pourront être normales à plus de
3 nin {m -r- n — 2 )
surfaces distinctes, à moins qu'elles ne soient les trajectoires orthogonales d' une famille de surfaces.
Pour n = I, on retrouve la proposition indiquée plus haut, et qui a, d'ailleurs, été déjà énoncée par M. Ribaucour.
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