LIVRE IV. — CM A P

Dans le cas où l'une des nappes de la surface focale se réduira à une courbe (K), il suffira, pour avoir une solution partielle du problème, d'assembler toutes les courbes de la congruencc qui passent par un même point de (K). Si l'on considère, par exemple, la congruencc formée par les cercles qui rencontrent quatre courbes données, on aura toutes les solutions en assemblant les cercles, en nombre infini, qui passent par un point quelconque de l'une de ces courbes.

316. Lorsque les courbes de la congruencc sont simj)lement tangentes à une des nappes de la surface focale, les points de contact de ces courbes doivent être considérés comme des points focaux simples; mais, si les courbes ont un contact d'ordre p avec la nappe considérée, chaque point de contact sera un point focal multiple tenantlieu de /> points focaux ordinaires. Voici comment on peut établir cette proposition.

Soit

l'équation de la nappe considérée. Si l'on remplace partout z par z -\- f{x^ y)^ cette substitution ne change pas l'ordre de contact des courbes et des surfaces; mais la nappe précédente est remplacée par le plan des xy. Nous pouvons donc, sans restreindre la généralité des raisonnements, supposer que toutes les courbes de la congruencc soient tangentes au plan des xy, et nous allons les étudier dans le voisinage de ce plan.

Substituons aux paramètres aelb qui entrent dans les équations de chaque courbe de la congruencc les coordonnées Xq, yo du point de contact de la courbe avec le plan des xy. Les équations qui définissent cette courbe donneront alors pour y el z des valeurs qui pourront être développées en série et seront de la

forme

r ^yo -^A(.T — Xo) ■-- B(x ccoY -^

z ^-~ Ai{x — a:o)P+^ -r- Bi(^- -Xo)p+^- . . .,

A, A,, B, B,, ... étant des fonctions quelconques de Xo,yo et/?

désignant l'ordre du contact de la covu'be avec le plan des xy.

Ecrivons l'équation

df acp df c)y ^^

dxo âyo âyo Oxo '