CHAPITRE XIII

DROITES NOIIAIALES A XJINE SUllFACE.

Théorie directe pour les congruenccs rectilignes. — Condition pour que des droites partant des difTcrcnls points d'une surface soient normales à une autre surface. — Remarque d'Hamilton. — Équation aux dérivées partielles d'une famille de surfaces parallèles. — Applications. — Théorème de Malus. — Propositions de Dupin relatives aux cas où les développables formées par les rayons incidents ne sont pas détruites par la réflexion. — Définition des axes optiques dune surface. — Pour que des rayons incidents normaux à une surface aient leurs développables conservées par la réflexion, il faut et il suffit que ces développables découpent sur la surface réfléchissante un réseau conjugué. — Ombilics catoplriqucs de Dupin. — Exemples particuliers. — Cas où les rayons incidents émanent d'un point unique. — Cas où la surface réfléchissante est du second degré.

447. Dans le Chapitre précédent, nous avons rattaché la théorie des congruences rectilignes à des propositions qui s'appliquent auK congruences les plus générales. On peut aussi la traiter directement de la manière suivante.

Traçons dans l'espace une surface quelconque (S), assujettie à l'unique condition de ne pas être formée par des droites de la congruence. Les cosinus directeurs u^ c, w de l'une quelconque des droites de cette congruence sont des fonctions déterminées des coordonnées rectangidaires .r, r^ z du point où celte droite rencontre la surface (S). Nous allons montrer que la condition nécessaire et suffisante pour que les droites soient normales à une môme surface est que L'expression

u dx -H t' dy -+- w dz

soit une différentielle exacte, pour tous les déplacements qui s'effectuent sur la surface (S).

Cette condition est nécessaire; car elle est remplie toutes les fois que les droites sont normales à une surface (S). Soient, en cflcl, X, Y, Z les coordonnées du point où la droite de la con-

DROITES NORMALES A IXE SURFACE. ajS

gnience est normale à (I). On aura, pour lous les déplacements considérés,

D'ailleurs on peut écrire (2) \ = X — up. V = r — vz, Z = z — ivp,

p désignant la distance des deux points (^, r, z), (X, Y, Z). Si l'on remplace X, \ , Z par ces valeurs dans l'équation (i), on trouve

( 3 ) dp = u dx -i- V dy -^ w dz ;

le second membre est donc la difterentielle de la fonction 0.

Réciproquement, si le second membre est la différentielle exacte d'une certaine fonction p, le point défini par les équations (2) vérifiera la relation (i); et toutes les droites de la congruence seront normales à la surface lieu du point (X, \, Z). La proposition que nous avions énoncée se trouve ainsi établie.

448. La démonstration précédente conduit par une voie natuïelle aux remarques suivantes, qui sont dues à Hamilton.

Imaginons que, par chaque point (j:, >', z) de l'espace, on mène une droite. Les cosinus directeurs de cette droite sont des fonctions données, mais quelconques, de x, t, z\ et la droite dépend, en général, de trois paramètres. Dans un Mémoire que nous allons citer tout à l'heui^e, Malus a considéré pour la première fois de tels assemblages de droites, qui sont bien connus depuis les travaux de Pliicker et qui ont reçu le nom de complexes. Ces définitions étant admises, voici en quoi consiste la proposition d'Hamillon :

La condition nécessaire et suffisante pour que les droites forment une congruence (au lieu de former un complexe) et soient normales à une surface est que l'expression

u dx -r- V dy -\- iv dz

soit une différentielle exacte pour tous les déplacements possibles du point (x, y, z).

La condition est nécessaire; il suffit, pour le reconnaître, de

276 LIVRE IV. — Cil VI». XI H.

répéter la démonsLralion que nous venons de faire; il reste done à prouver seulement qu'elle est suffisante. Puisque l'on a, par hypothèse,

(4) u dx -^r V dy -^ w dz — c/O,

on pourra écrire

(^^ ''^-Tx' '-~T/ '"^àTz'

ce qui donnera

La proposition d'Haniilton se ramène donc à la suivante, qui est bien connue :

Étant donnée une fonction 9 satisfaisant à l'équation précédente, les surfaces

(7) 6 = const.

sont toutes parallèles à V une d'elles.

Au reste, on peut démontrer directement cette proposition de la manière suivante : Menons aux surfaces représentées par l'équation (7) des plans tangents parallèles; les points de contact de ces plans seront distribués sur les courbes représentées par les deux équations

de dô

(8) M = — - = const., V =^ ^- — const. ^ ' dx oy

Ces courbes, on le reconnaît immédiatement, sont des trajectoires orthogonales de la famille de surfaces (-). On a, en eifet,

()6 du

()0 du aO du

dx dx

dy dy dz dz

dx dx^ dy dx dy

dz dx dz

car le second membre n'est autre que la dérivée par rapport à X du premier membre de l'équation (6).

Comme le plan tangent a une direction invariable aux points où toutes les surfaces (7) sont coupées par les lignes (8), ces trajectoires orthogonales se réduisent nécessairement à des droites j et,