DROITES NORMALES A UNE SURFACE

par suite, l'équation (-) représente une famille de surfaces parallèles. D'ailleurs la droite menée par un point quelconque de l'espace et définie par les cosinus directeurs m, r, w est évidemment la normale à celle des surfaces parallèles qui passe par le point; et elle est, par conséquent, normale commune à toutes les surfaces. La remarque d'Hamilton se trouve ainsi complètement justifiée.

449. Les propositions précédentes sont d'un emploi très commode dans les applications. Supposons, par exemple, que les équations d'une droite soient écrites sous la forme

a, bj p, q étant des fonctions de deuv paramètres; si l'on considère le point de la droite qui se trouve dans le plan des or^' et qui a pour coordonnées/», q^ o, on aura ici

, , , adp -~- b dq

1 lo) u dx -h- V dv -^ w dz =^ - — - ■>

et cette expression devra être une différentielle exacte pour toutes

les congruences de normales.

Si la droite est définie de la manière la plus générale par les

équations

(' bz — cr -^ «' = o,

ex — a z — b' = o,

ay — bx ^ c = o,

données au n° 139 [I. p. igi], on aura

a^'b^ c ~ ^oT-^b^-^c*- '

En substituant à l'expression

u dx -\- V dy -^ w dz la suivante

x du -r- y d\r ^ z dw,

qui est, en même temps que la première, une différentielle exacte,

(il) j cx^az — b'=^o.

on sera conduil à l'expression

I da dh de I a' b' c'

qui devra être une difFérentielle exacte pour toutes les congruences de normales.

450. On peut déduire des résultats précédents un théorème célèbre, dont la première idée revient à Malus, mais qui n'a été complètement établi que par les efforts combinés de Dupin, de Gergonne, de Quételet. En voici l'énoncé :

Si des rayons lumineux sont normaux à une surface^ ils ne cessent pas de conserver cette propriété après un nombre (juelconque de réflexions et de réfractions.

Il suffit évidemment, la réflexion pouvant être assimilée à une réfraction d'indice — i , de démontrer le théorème pour le cas de la réfraction. Voici comment on peut énoncer la loi de Descartes.

Portons sur le rajon incident {fig. 3o) une longueur MA ==: i,

Fis. 3o.

et sur le rayon réfracté une longueur MB — «, n désignant l'indice de réfraction. Composons MA, MB suivant la loi du parallélogramme, la résultante MG sera normale à la surface dirimante. En effet, dans le triangle MBG, on aura

sinBMC siiiMCB