DROITES NORMALES A UNE SI" K FACE

OU, ce qui est la même chose,

(i3) sinAMK = «sinB.MH.

C'est la loi connue de la réfraction.

Soient a, ^, v, u, f, «v. f/, ^ , w' les cosinus directeurs de la

normale à la surface, du ravon incident et du rayon réfracté. En

égalant la projection de MC à la somme des projections MA, MB,

on a

1' nu ^ Il = Àa,

04) i nv — V = X^,

( nw'-r- w = À^.

A désignant la longueur MC. Soient x. 1-, :; les coordonnées rectangulaires de M. On a, pour tout déplacement de M sur la surface dirimante,

(1 5) %dx -r- s dy — -; dz = o,

ou, en éliminant a, ,3, y au moyen des équations précédentes,

( i6) udx — i- dy — »• dz = — n i u dx -f- t' dy -H w' dz ).

Cela posé, supposons que les rayons incidents soient normaux à une surface (S). Le premier membre sera la diflerentielle d'une fonction p qui est, nous l'avons vu plus haut, la distance du point M au point P où le ravon coupe normalement la surface (-). En vertu de la formule précédente,

u dx — v' dy -^ iv' dz

sera aussi une différentielle exacte —d('-\t et, par suite, les

rayons réfractés seront aussi normaux à une sur/ace (1). On obtiendra le point P' où le rayon réfracté coupe normalement (S')

en portant la longueur — "^ , dans le sens déterminé par son signe,

sur le ravon réfracté. On verra facilement que les plans normaux aux deux ravons, incident et réfracté, en Pet en P', vont se couper suivant une droite située dans le plan tangent en M à la surface dirimante; cette relation entre les plans tangents aux trois surfaces est d'ailleurs évidente dans le système des ondulalions. On en déduit que, si p, p' et o désignent les termes tout connus dans

•>.8o HVRE IV. — OIIAP. XIII.

les équations des plans tangents en P, P' et M aux surfaces (S), (S') et à la surfacs dirimante, on a

(14 )' np'-i-p^lo,

\ ayant la même valeur que dans les formules (i4)-

Les surfaces normales aux rayons réfractés ont reçu le nom d' anticaustiques; les résultats précédents peuvent donc s'énoncer ainsi :

Si les rayons incidents sont normaux à une surface (2), considérons cette surface comme l'enveloppe de sphères ayant leurs centres sur la surface dirimante. Pour obtenir V anticaustique relative aux rayons réfractés, il faut prendre V enveloppe de toutes les sphères que l'on obtient en réduisant le rayon des précédentes dans le rapport de l'unité à l'indice de réfraction ( ').

Il résulte de cette construction qu'il sera, en général, impossible

(') Voici quelques indications au sujet de la découverte de cette belle proposition. Dans un Mémoire portant ce simple titre : Optique et inséré en 1808 au XIV° Cahier du Journal de l'École Polytechnique, Malus démontre, en premier lieu, une propriété intéressante de ces assemblages de droites auxquels nous donnons le nom de complexes. Imaginons qu'à chaque point de l'espace on fasse correspondre, suivant une loi quelconque, une droite passant par ce point, et soit M un point quelconque par lequel passe une droite {d) du système. Si l'on cherche les points M', infiniment voisins de M, pour lesquels la droite correspondante rencontre {d), on trouve que le lieu des directions MM' est un cône du second degré. Après avoir établi cette proposition, l'illustre physicien étudie les assemblages de droites qui dépendent de deux paramètres, c'està-dire les congruences ; et il montre que l'on peut, en général, distribuer les droites de la congruence en deux systèmes différents de surfaces développables. Il cherche la condition pour que ces deux familles de développables se coupent à angle droit, et il reconnaît qu'elle est remplie lorsque les droites sont les normales d'une surface.

Faisant ensuite l'application de ces principes généraux à l'Optique, Malus démontre que, lorsque des rayons incidents émanés d'un point fixe se réfléchissent sur une surface quelconque, ils demeurent, après la réflexion, normaux à une surface.

Dans la seconde Partie de son Mémoire, insérée à la page 84 du même Cakier, Malus étend cette proposition au cas d'une réfraction unique, et il essaye (p. ici) de l'étendre aussi au cas de plusieurs réfractions; mais, trompé par une faute de

DROITES NORMALES A UXE SURFACE. ^Sl

de séparer analytiquement les deux svtèmes de rayons réfractés qui correspondent à des valeurs égales et de signes contraires de l'indice de réfraction.

4ol. Dans son étude du théorème précédent, qu'il a démontré seulement pour le cas de la réflexion, Dupin s'était proposé la question suivante, qui donne naissance à des recherches intéressantes.

Si les ravons lumineux sont normaux à une surface, on peut les assembler en deux familles de développables orthogonales. La réflexion sur une surface donnée transforme, en général, ces développables en surfaces gauches. Dupin donne de belles propositions relatives au cas où les rayons incidents formant une développable se réfléchissent suivant des ravons formant également une développable; et il a reconnu que les traces des deux séries de développables sur la surface réfléchissante doivent former un système conjugué. Les démonstrations de Dupin reposent sur les propriétés de l'indicatrice et sur celles des surfaces de révolution du

calcul, il croit que les rayons lumineux cessent, en général, après une deuxième réfraction, d'être normaux à une surface.

C'est à Dupin que revient le mérite d'avoir énoncé, pour la première fois, dans un Mémoire sur les roules de la lumière que nous citerons plus loin, le théorème général, et d'en avoir donné une démonstration géométrique très simple, mais pour le cas de la réflexion seulement. D'ailleurs Cauchy, comme l'indique Dupin, avait repris et corrigé les calculs de Malus, de sorte qu'aucun doute ne subsistait plus sur la portée et la généralité du théorème. Dupin s'est contenté de le regarder, dans le cas de la réfraction, comme un simple corollaire des propositions qu'il avait données dans sa théorie des déblais et des remblais; cette vue était exacte, mais les théorèmes sur lesquels s'appuyait Dupin étaient incomplètement démontrés.

Quelques années plus tard, Ouételet a introduit une idée neuve dans cette théorie en substituant aux caustiques, dont la détermination est très pénible, les caustiques secondaires ou mieux les anticaustiques qui sont normales aux rayons réfléchis ou réfractés. C'est grâce à ses efforts et à ceux de Gergonne que le théorème a été enfin simplement et complètement démontré. (Voir le tome I de la Correspondance mathématique et physique, iSaô, le tome XVI des Annales de Gergonne et les .\ouveauj; Mémoires de l'Académie de Bruxelles, t. III et IV, 1826 et 1827.)

Dans l'étude que nous avons citée [p. 287], M. Lévislal a étendu le théorème de Malus et de Dupin au cas de la double réfraction.

■>.0>. LIVIIK IV. — Cil A P. XIII.

second degré ('). On peut leur substituer les suivantes, qui nous donneront d'ailleurs des résultats nouveaux.

Commençons par considérer des rayons lumineux formant une seule développable, et cherchons la condition pour que les rayons réfléchis engendrent également une surface développable.

Soit AA' . . . une ligne de courbure de la développable formée par les rayons incidents. Les génératrices qui passent aux points A, A', . . . rencontrent la surface réfléchissante C^) en M, M', . . . et se réfléchissent suivant des rayons MB, M'13', .... Prenons MB = ]MA, MB' = M'A', .... La courbe BB' . . . sera une trajectoire orthogonale des rayons réfléchis et, par suite, elle sera nécessairement une ligne de courbure si ces rayons réfléchis forment, eux aussi, une développable. Les sphères de centres M, M', ... et de l'ayons MA, MA', . . . enveloppent une surface (S) à lignes de courbure circulaires, et les deux courbes AA', ..., BB', ... devront être des lignes de courbure non circulaires de cette surface. Par suite, les tangentes à ces deux lignes, aux points correspondants A et B, seront deux génératrices d'un cône de révolution circonscrit à la surface (S) suivant un cercle, et elles se rencontreront nécessairement. Considérons maintenant la surface réglée (A) engendrée parla droite AB; d'après la propriété que nous venons de démontrer, ce sera une surface développable, puisqu'elle admet le même plan tangent aux deux points distincts AetB. Soient AB, A'B' deux positions consécutives deAB; comme elles sont respectivement perpendiculaires aux deux plans tangents en M et en M' à la surface réfléchissante (S), elles seront aussi perpendiculaires à l'intersection de ces deux plans M^, qui est la tangente conjuguée de MM'. Ainsi :

La développable (A) engendrée par la droite AB a, à chaque instant, son plan tangent perpendiculaire à la tangente Mt.

Par suite, le plan normal mené par MA à la développable des rayons incidents, plan qui est évidemment perpendiculaire à la tan-

( ' ) Consulter, dans les Applications de Géométrie et de Méchanique, le Quatrième Mémoire intitulé : Sur les routes suivies par la lumière et par les corps élastiques, en général, dans les pJiénomènes de la réflexion et de la réfraction. (Présenté à l'Académie des Sciences, le 22 janvier 1816.)