DROITES NORMALES A UNE SIRFACE

gente en A à la ligne de courbure AA' ... de celle développable, coupera le plan langenl en M à la surface réfléchissante suivant la droite qui est perpendiculaire à la tangente en A, c'est-à-dire suivant la tangente M^. En d'autres termes, le plan tangent à la déi-eloppable suùant le ravon incident et le plan normal qui contient ce rayon doivent couper le plan tangent à la surface réfléchissante suivant deux droites conjuguées.

Cette condition, qui est nécessaire, est aussi suffisante : il suffira, pour le reconnaître, de reprendre dans un ordre inverse les raisonnements précédents. On en déduit la conséquence suivante.

La tangente à la courbe d'incidence et sa tangente conjuguée se trouvent dans deux plans rectangulaires contenant le rayon incident; ces deux plans sont évidemment des plans diamétraux conjugués de tout cvlindre de révolution ayant pour axe le ravon incident. Par suite, les droites considérées sont des diamètres conjugués de la section de ce cylindre par le plan tangent en M.

D'après cela, si l'on se donne un rayon incident quelconque coupant la surface réfléchissante en M, il n'y aura que deux directions possibles pour la tangente à la courbe d'incidence en M : ce seront celles des deux diamètres conjugués communs à l'indicatrice de la surface et à la section du plan tangent par le cvlindre de révolution dont l'axe est le rayon incident.

On remarquera l'analogie de cette théorie avec celle des lignes de courbure; au reste, les deux théories se confondent si l'on suppose le ravon incident normal à la surface réfléchissante (').

4o!2. La construction précédente nous conduit à considérer une classe de droites qui possèdent des propriétés optiques remarquables. Supposons que les deux coniques employées dans cette

(') Les résultats établis par notre méthode comprennent ceux sur lesquels Dupin s'est appuyé; car, si la surface réfléchissante est une surface de révolution du second degré à deux fojers F, F', les rayons lumineux qui émanent de F se réfléchiront vers F'. Construisons le cône formé par les rayons incidents qui rencontrent la section de la surface par un plan (P); le plan normal suivant chaque génératrice devra contenir la tangente conjuguée de la tangente à la section plane et, par suite, passera par le pùle du plan (P). Or, un cône est évidemment de révolution lorsque son plan normal va passer par un point fixe. Ainsi, toutes les sections planes, vues du forer, paraîtront des cercles.

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construction soient semblables, c'est-à-dire que le rayon incident soit l'axe de l'un des quatre cylindres de révolution qui contiennent l'indicatrice; alors les directions de la courbe d'incidence ne seront plus déterminées. Ainsi :

Si Von considère en chaque point câline surface les quatre droites, axes des cylindres de révolution qui coupent le plan tangent suivant l'indicatrice, ou encore lieux des points d'où l'on voit deux tangentes conjuguées quelconques sous un angle droit, ces droites formeront quatre systèmes de rayons rectilignes dont les développables se réJlécJiiront suivant des développables.

Ces droites sont imaginaires si l'indicatrice est hyperbolique; dans le cas d'une indicatrice elliptique, il y en a deux qui sont réelles : ce sont les asymptotes de l'hyperbole focale; elles sont dans le plan principal qui contient les deux foyers de l'indicatrice et placées symétriquement par rapporta la normale. Elles forment deux systèmes différents et chacun d'eux s'obtient par la réflexion de l'autre sur la surface. Nous les appellerons, pour abréger, axes optiques. On peut encore les construire comme il suit.

Menons par les deux tangentes asymptotiques de la surface réfléchissante les plans tangents au cercle de l'infini. Ces quatre plans se couperont suivant quatre droites, placées deux à deux symétriquement par rapport au plan tangent, et qui seront les quatre axes optiques relatifs au point considéré.

Il suit de là que, dans le cas d'une surface du second degré, les axes optiques de la surface sont les génératrices rectilignes des surfaces du second degré homofocales à la proposée. On peut déterminer sans aucune intégration les développables formées par ces droites; car on sait qu'elles sont les tangentes doubles de la développable dans laquelle sont inscrites toutes les surfaces homofocales. Or, quand des droites d'une congruence sont les tangentes doubles d'une développable, il est évident qu'il y en a une infinité dans chaque plan tangent de la développable. Ce plan touche, en effet, la développable suivant une droite (c/) et la coupe suivant une courbe (C); toutes les tangentes de (G) seront des tangentes doubles de la développable et devront être considérées