DROITES NORMALES A IXE SURFACE

comme formant elles-mêmes une surface développable. Ainsi, dans le cas des surfaces du second degré, nous saurons distribuer les axes optiques en deux séries de développables. Remarquons d'ailleurs que ces deux séries de développables sont imaginaires.

4o3. Les axes optiques jouissent, dans tous les cas, dune remarquable propriété. Imaginons que des rayons lumineux émanent d'un point de l'une de ces droites et forment un pinceau infiniment petit autour de la droite. D'après la propriété des axes optiques, les rayons réfléchis, de quelque manière qu'on les assemble, doivent être considérés comme formant une surface développable; et, par conséquent, le faisceau réfléchi paraîtra, lui aussi, émaner d'un point unique.

On peut établir cette conclusion d'une manière plus rigoureuse en donnant le complément suivant à notre première proposition. Imaginons un ravon A.M venant rencontrer en M la surface réfléchissante et se réfléchissant suivant un rayon MB 5 et supposons que AM fasse partie dune développable qui se réfléchit suivant une développable. Lorsqu'on passera de AM au rayon infiniment voisin A'M', le plan AMB sera remplacé par un plan A'M'B' qui coupera le premier suivant une droite au.^, a, u., ,3 étant les points de cette droite situés respectivement sur AM, sur la normale en M et sur BM. Les plans AMB, A'M'B' passant par deux génératrices infiniment voisines de la développable engendrée par AM, la position limite de a est le point de contact du rayon AM avec la courbe qu'il enveloppe; et, de même, 3 est le point de contact du ravon réfléchi BM avec l'arête de rebroussement de la développable engendrée par ce rayon. Quant à ti, c'est évidemment le point où la normale au point M' de la courbe d'incidence infiniment voisin de M vient couper le plan AMB. Nous avons donc le théorème suivant :

Quand une développable se réfléchit suivant une développable, la droite qui joint les points de contact des rayons incident et réfléchi avec les courbes qu'ils enveloppent vient couper la normale à la sur/ace réfléchissante au point oii la sur/ace gauche formée par les normales en tous les points de

•^86 LivuK IV. — cil A p. xm.

la courbe d'incidence est tangente au plan du rayon incident et du rayon réfléchi.

En particulier, quand il s'agit d'un axe optique, qui est nécessairement situé dans un plan principal, toutes Jes normales infiniment voisines de la normale viennent couper ce plan en un point dont la position limite coïncide avec celui des deux centres principaux où le plan principal est tangent à la surface des centres. Si y désigne ce centre, on voit que [i devra être sur la ligne ay; et cette construction est toujours la même, quelles que soient les développables formées par les rayons incidents. Si donc ceux-ci émanent de a, les rayons réfléchis paraîtront émaner de ^.

Les propriétés établies donnent lieu à un certain nombre de conséquences qu'il ne sera pas inutile d'énoncer explicitement.

Si les ravons incidents sont formés par un système d'axes optiques de la surface, les développables incidentes se réfléchissent suivant d'autres développables, que les rayons incidents soient ou ne soient pas normaux à une surface. En dehors de ce cas exceptionnel, on peut dire que, si la réflexion ne détruit pas les deux séries de développables, supposées distinctes, formées par les rayons incidents, ceux-ci sont nécessairement normaux à une surface. Nous avons vu en effet que, si le rayon incident AM est donné, les deux seules droites qui puissent être les tangentes en M de la trace d'une développable sur la surface réfléchissante sont dans deux plans rectangulaires passant par le rayon incident. Donc, si les deux séries distinctes de développables formées par les rayons incidents doivent subsister après la réflexion, il est nécessaire qu'elles se coupent à angle droit et qu'elles découpent sur la surface réfléchissante un système conjugué. Ces deux conditions sont d'ailleurs suffisantes. Ainsi :

Toutes les fois que les deux séries de développables formées par les rayons incidents se réfléchissent toutes suivant des développables, les rayons incidents sont normaux à une surface, à moins qu'ils ne constituent un des quatre systèmes d'axes optiques de la suif ace.

Pour que des rayons incidents normaux à une surface aient leurs développables conservées par la ré/lexion, il faut et il

DROITES NORMALES A UNE SURFACE. f.Sj

suffit que ces développables découpent sur la surface réfléchissante un système conjugué.

4o4. Considérons, par exemple, une surface (S), que nous supposerons quelconque, et des rayons lumineux émanés d'un point O. Ces rayons lumineux, qui forment un système (I), se réfléchissent sur {'-^ et donnent un système (R) de rayons réfléchis normaux à une surface (-i), enveloppe des sphères qui passent par le point O et ont leur centre sur (S). Cette surface (X,) est évidemment homolhétique à la podaire de O par rapport à (S); car elle est le lieu des symétriques du point O par rapport à tous les plans tangents de (S). Soit OM un rayon incident se réfléchissant au point M de (2 ). Supposons l'œil placé en un point O' sur la direction du rayon réfléchi; il recevra un pinceau de rayons émanés de O et réfléchis dans la région de \^) qui avoisine le point M. Ce pinceau de rayons réfléchis, formé par des normales à (S,), aura, en général, deux lignes focales, perpendiculaires l'une à l'autre et placées aux deux centres de courbure principaux de (51|) qui sont sur la normale O'M. L'image du point lumineux, pour l'observateur placé en O'. sera plus ou moins confuse; elle sera rapportée par cet observateur à un point qu'aucune règle précise ne permet de déterminer. Mais, dans le cas particulier où la ligne OM est un des axes optiques du point M, tous les rayons réfléchis paraîtront émanés d'un point unique que nous avons appris à construire. Limage du point lumineux sera devenue nette et les ravons réfléchis auront un foyer qui pourra être réel ou virtueL Le point M a reçu de Dupin le nom d^ombilic catop- //•/^we justifié par l'analogie qu'il présente avec les ombilics ordinaires, avec lesquels il se confond d'ailleurs lorsque le rayon incident est normal à la surface. Si la surface (2) est du second degré, il v aura, pour chaque point O, douze ombilics catoptriques, dont quatre seront réels, situés à l'intersection de celte surface et des deux génératrices rectilignes de l'hyperboloïde homofocal qui passe au point O.

Ici les ravons incidents, de quelque manière qu on les assemble, forment toujours des cônes et, par suite, des développables. Proposons-nous de déterminer les cônes formés par les rayons incidents auxquels correspondent des rayons réfléchis formant une

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développable. D'après les proposilions précédentes, ces cùnes devront découper sur la surface réfléchissante deux systèmes de lignes conjuguées qui paraîtront se couper à angle droit lorsqu'on les regardera du point O. D'ailleurs la détermination de ces cônes équivaut à celle des lignes de courbure de la surface (S,) on, ce qui est la même chose, de la podaire de (S) relativement au point O. Ainsi :

Etant donnée une surface (S) et un point O, les lignes de courbure de la podaire de (S) relative au point O correspondent à deux systèmes de lignes conjuguées tracées sur ÇL) et qui paraissent se couper à angle droit pour un observateur placé en O.

Cette proposition, que le lecteur établira très simplement d'une manière directe, permet de déterminer les développables formées par les rayons réfléchis lorsque la surface (S) est du second degré. On obtient alors la construction suivante, que nous nous contenterons d'énoncer :

Les courbes d'incidence des cônes cjui se réfléchissent suivant des développables sont à l' intersection de (S) et des cônes du second degré, de sommet O, homofocaux au cône de même sommet circonscrit à (S); elles sont aussi les courbes de contact des développables circonscrites à (S) et à l'une quelconque des surfaces du second degré cjui passent par l'intersection de (2) et de la sphère de rayon nul ayant pour centre le point O.

455. Dans deux Notes publiées en 1872 ('), M. Ribaucour a indiqué d'autres applications très intéressantes du théorème de Dupin. Elles reposent essentiellement sur la remarque suivante, qui est à peu près évidente :

Pour que les développables d'une congruence découpent sur une surface du second degré un réseau conjugué, il faut et il suffit que les deux plans focaux de chaque droite de la con-

(') Ribaucour, Sur la théorie des lignes de courbure {Comptes rendus, t. LXXIV, p. 1489 et 1570, I" semestre 1872).