DROITES NORMALES A IXE SURFACE

gruence soient conjugués par rapport à cette surface, c'està-dire que chacun d'eux contienne le pôle de l'autre (').

La condition précédenle étant indépendante du point oîi chaque droite de la congruence coupe la surface, on en déduit tout d'abord la proposition suivante :

Si les développables formées par les droites d'une congruence découpent, à leur entrée, un réseau conjugué sur une surface du second degré, elles découpent aussi à la sortie un second réseau conjugué.

Considérons maintenant le cas où les développables se coupent à angle droit. On aura alors une congruence de normales (I) dont les développables découperont, par hypothèse, un réseau conjugué sur la surface du second degré (S). Les deux plans focaux de chaque droite {d) de la congruence, étant à la fois normaux et conjugués par rapport à (S), seront aussi conjugués par rapport à toutes les surfaces {Si) qui sont homofocales à (S); par conséquent, les développables de (I) découperont, sur toutes les surfaces (S,-), soit à l'entrée, soit à la sortie, des réseaux conjugués. Si donc on envisage les droites de la congruence comme formant un système de rayons incidents (I), on pourra faire réfléchir ces rayons sur une quelconque (5,) des surfaces (S/). On aura ainsi un premier système de rayons réfléchis (I, ) dont les développables correspondront à celles de (I); et, comme elles découpent sur (S,) le même réseau conjugué que les développables de (I), elles découperont encore sur toutes les surfaces homofocales des réseaux conjugués. On peut, maintenant, faire réfléchir le faisceau (I,) sur une autre surface homofocale (So); et ainsi de suite. En continuant de cette manière, on obtient une suite, en général illimitée, de congruences de normales (I), (I,), (Ij), ... dont les développables se correspondent mutuellement et découpent sur

(') Soit, CQ effet, M uq poiat de la surface, (d) la droite de la congruence qui passe en ce point et M /, M t' les traces des deux plans focaux de celte droite sur le plan tangent en M. Le plan focal passant par Mf a, comme on sait, son pôle sur la tangente conjuguée de Mf. Pour que les deux plans focaux soient conjugués, il est donc nécessaire et sufGsant que "Slt et Mf' soient des tangentes conjuguées.

D. -II. ,q

ogo LIVRE IV. — CUAP. XIH. — DROITKS NORMALES A l NE SURFACE.

toutes les surfaces liomofocales des réseaux conjugués. Si l'on veiil suivre un des rayons incidents, on reconnaîtra aisément que les deux surfaces homofocales qui sont tangentes à ce rayon demeurent aussi tangentes à toutes ses positions successives.

Ces propriétés si élégantes nous ont paru mériter d'être signalées. Dans le Chapitre suivant, nous allons poursuivre cette étude, qui nous permettra d'ailleurs de compléter les résultats donnés plus haut sur les lignes géodésiques des surfaces du second degrré.