PAR RAPPORT A UNE SURFACE DU SECOND DEGRÉ
Les surfaces dont les plans principaux sont conjugués par rapport à une surface du second degré. — Théorème de M. Ribaucour relatif aux développables formées par les normales. — Indication de deux surfaces remarquables satisfaisant à la déûnition précédente. — Système des surfaces homofocales du second degré. — Surface qui admet pour normales les tangentes communes à deux homofocales. — Lignes géodésique» de l'ellipsoïde. — Équation en coordonnées elliptiques d'une droite quelconque; théorème de Jacobi relatif à Tintégration des équations abéliennes les plus simples. — Propositions analogues aux théorèmes de M. Chasles sur les polygones de périmètre maximum ou minimum inscrits ou circonscrits à une ellipse. — Intégration de l'équation aux dérivées partielles des surfaces dont les plans principaux sont conjugués par rapport à une surface du second degré. — L'intégrale générale est de forme transcendante, mais le théorème d'Abel permet de définir un nombre illimite de solutions algébriques. — Extension de la méthode précédente à la détermination d'un système triple orthogonal qui dépend de trois fonctions arbitraires d'une variable.
4o6. Considérons, d'une manière générale, une surface (S) dont les plans principaux soient conjugués par rapport à une surface du second degré (S), représentée en coordonnées tangenlielles par l'équation
(1) \ir — Bi*--^Civ*-—p*- = o.
Soient «, i', (V, p les coordonnées d'un plan tangent quelconque de ÇZ). iSous supposerons que l'on ait
(1) fi* -H t-'î — «•- ^ I
et que l'on ait choisi comme variables indépendantes les paramètres a et ^ des lignes de courbure. On pourra écrire alors
( 3 ) du*- — f/i 2 — d»-i = ed7r- — g dV-,
et M, r, (ï', p seront (n" 431) des solutions particulières de
(92 0 1 àe ôfi i^ ôff ô^
(4) 7)77)0. 77 M 77, TT' iH à'i ~
l'équalion
D'autre part, l'équation du plan tangent à la surface étant
(5) i(X-l-rY-r-(vZ-!-/?=0,
les plans principaux sont définis par les équations suivantes
( au ^, ()v ,, dw dp
— X -1- T- Y -t- -- Z -H -f = o, ) dx dx d'y. d%
^ ' \ du „ àv ^ ôw dp
que l'on obtient en prenant les dérivées de la précédente par rapport à a et à [i. La condition nécessaire et suffisante pour que ces plans soient conjugués par rapport à la surface du second degré (S) est, comme on sait,
du du dv dv dw dw dp dp^
(7) ^ J^ J^ "^ '' ^ â^ "^ (^a <J dx d'^
Or cette condition est équivalente à la suivante : la fonction
doit être une solution particulière de l'équation linéaire (/,); de sorte que la recherche des surfaces (S) qui satisfont à la condition indiquée peut se ramener au problème suivant :
Trouver une équation de Informe
\\)) dxd'^ dy. d'p
admettant cinq solutions particulières u, v, w, p, cr liées par les relations (2) et (S).
Cette forme particulière donnée au problème va nous conduire à une propriété de la surface (S). Remplaçons successivement, dans l'équation (4), 0 par u, c, (V, p; et ajoutons les équations
. du obtenues, après les avoir multipliées respectivement par A ^^^ ,
B^, G^"^, — ^'- En tenant compte de l'équation (;), nous au-
dx dy. dx
LA SURFACE DE M. LIOU VILLE. OqS
rons
En intégrant, on trouve
7-1 désignant une fonction de a; et, si l'on remplace e par sa valeur déduite de l'équation (3), on a
Tout étant symétrique en a et ^, on peut joindre à cette relation la suivante
où ,3, est une l'onction de ,3.
Si l'on se reporte aux équations (6), on reconnaît que ces relations expriment la propriété suivante :
Les normales à la surface cherchée en tous les points d'une ligne de courbure de la surface (S) forment une développable qui est circonscrite à l'une des surfaces du second degré homo foc aies à (S).
En effet, l'équation (i i) exprime que le plan principal qui correspond à la ligne de courbure (a) demeure tangent à une surface homofocale dont le paramètre a, ne dépend que de a.
La propriété précédente est due à M. Ribaucour qui l'a énoncée dans les articles déjà cités; le lecteur pourra l'établir aussi par la Géométrie.
4o7. Nous laisserons de côté, dans l'étude qui va suivre, le cas où lune des fonctions a,, ^Si se réduirait à une constante. Alors une des nappes de la surface des centres de (S) se réduira à une surface (S,) homofocale à (S). Il suffira évidemment, d'après les
29 î LIVRE IV. — CH A p. XIV.
remarques que nous avons présentées au n"441, de tracer sur (S|) une famille quelconque de lignes géodésiques ; leurs tangentes seront les normales de la surface cherchée. L'étude de ce cas spécial se ramène donc à celle des lignes géodésiques d'une surface du second degré, que nous présenterons plus loin.
On peut, dès à présent, indiquer des solutions assez étendues du problème proposé. Considérons la surface définie en coordonnées tangentielles par l'équation
( 1 3 ) A «2 4- B 1^2 | Q (p2 — pï — ■i.au -\- ibv -^1 cw -t- i hp -\- k,
où «, b, c, h, k sont des constantes quelconques et où l'on suppose «, v^ w liés par la relation (2). Pour tous les points de cette surface, la solution que nous avons désignée par a- sera une fonction linéaire de Uj v^ w, p et, par suite, elle satisfera aussi à l'équation (4). Donc :
La surface représentée en coordonnées tangentielles par V équation (i3) jouit de la propriété que les normales en tous les points d'une ligne de courbure soient tangentes à une même sur face du second degré Jiomofocale à (S).
Ce théorème équivaut, évidemment, à l'intégration de l'équation différentielle des lignes de courbure; car, si l'on exprime que la normale est tangente à une surface homofocale déterminée, on aura une équation en termes finis qui déterminera le lieu décrit par le pied de la normale.
Nous retrouverons plus loin la surface définie par l'équation (i3).
458. On peut répéter la théorie précédente en coordonnées ponctuelles. Soient x^ y, z- les coordonnées d'un point de (S) cl posons
Nous savons (n° 143) que x, j-, r, /•, considérés comme fonctions des paramètres a, [3 des lignes de courbure, satisferont à une équation de la forme
