L.V SCRFACE DE M. LIOUVILLE. "i^i
Les plans principaux de la surface auront ici pour équations
' dx ' dx
Ox
ôr
dr -d3=^-
ri6)
En exprimant qu'ils sont conjugués par rapport à (S), nous obtiendrons la relation
dx dr dr dy ^ ds dz dr dr
di d^ '^ tx T^ '^ di à} "Jx d) ~ ^'
Cette équation exprime que la fonction
est une solution particulière de l'équation (i5); et le problème est ramené à trouver une équation de celte forme pour laquelle on ait cinq solutions x, y, z-, r, t, liées par les deux relations (i4)
et(i7)-
La surface pour laquelle ces cinq solutions sont liées par une
relation linéaire à coefficients constants
(i8) 5, = a jr -^ bv — c :■ ^- dr — e
est une cycUde générale ; elle donne lieu aux mêmes remarques que précédemment; et l'on reconnaît ainsi, par une nouvelle méthode, que les lignes de courbure de cette surface sont algébriques.
4o9. Les deux propositions précédentes nous font connaître des surfaces pour lesquelles les développables formées par les normales interceptent sur une surface du second degré un réseau conjugué. Mais ces surfaces sont loin d'être les seules qui possèdent la propriété précédente : si l'on exprime, en effet, que les deux plans principaux relatifs à chaque point d'une surface sont conjugués par rapport à une surface du second degré, on sera évidemment conduit à une équation aux dérivées partielles du second ordre. Lorsqu'on emploie les coordonnées ponctuelles, on reconnaît aisément que cette équation est linéaire par rapport aux dérivées du second ordre de z, mais elle est d'une forme assez
compliquée par rapport à x, y, z et aux dérivées premières. Nous allons montrer qu'on peut l'intégrer; mais nous devons, auparavant, rappeler des résultats très importants que la théorie des surfaces homofocales doit à Jacobi et à M. Liouville.
Considérons les surfaces homofocales définies par l'équation
OÙ nous supposerons
On peut les distribuer en trois familles (n" 122) [I, p, i5-], les ellipsoïdes (pa), les hjperboloïdes à une nappe (pi ) et les h)perboloïdes à deux nappes (p). On a
( '-io ) p2 < c C ? 1 < 6 < p < rt ;
si l'on pose
( Cp ( Z/ ) — ' "- — ? ) ( '< — ?1 ) ( " — ?2 ),
on aura identiquement - «
et l'élément linéaire de l'espace sera déterminé par la formule
(23) ds-= 7 ^^r-^ dpf ,
la somme }i] étant étendue ici, et dans la suite, aux valeurs o, i, a de l'indice.
On sait que, lorsqu'on a un système orthogonal quelconque dans lequel l'élément linéaire a pour expression
(24) ds-'=\\- df^-^\\\d;.\^}\\cl^\, on peut écrire les formules suivantes
^ ^ àx ôx ôy dy ôz dz ' ' ^ jj 2 f)ç,. ()p .
