I.A SURFACE DE M. LIOIVILLE. -ÎQJ
relatives à deux fonctions 0, 0, que Ton suppose exprimées en fonction de t, y, z dans les premiers membres des équations et en fonction de p, Oi, 3.> dans les derniers. L'équation
exprime la condition pour que les deux familles de surfaces 0 = const., 01 = const.
se coupent à angle droit.
Si l'on applique ces formules aux coordonnées elliptiques, on aura
Gela posé, voici la remarque essentielle que l'on doit à M. Liouville(').
460. Il existe évidemment une fonction 6 dont les dérivées sont données par les formules
/dey s; — As/— B
où A et B désignent deux constantes ; et cette fonction 0 satisfait, on le reconnaît en appliquant la formule (28), à l'équation
{il) A(e) = i.
Si l'on remplace A et B respectivement par — \^-\- 3> et a3. on a
les radicaux pouvant être pris avec des signes quelconques. Il résulte immédiatement de l'identité (25 ) que l'équation
6 = const.
(') J. LiocviLLE, Sur un théorème de M. Chasles {Journal de Liouville, t. XVI, p. C; i8ji). Voir aussi t. XII du même Recueil, p. ^\S et suiv.
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représente, en coordonnées elliptiques, une famille de surfaces parallèles. M. Liouville a montré que ces surfaces sont celles dont l'existence avait été établie a priori par M. Chasles et dont les centres de courbure sont distribués sur deux surfaces homofocales (n" 412); les constantes a et p sont précisément les paramètres de ces deux surfaces. Voici comment on peut établir cette belle proposition.
L'équation (3i) étant vérifiée pour toutes les valeurs de a et de |3, on peut la différentier par rapport à chacune de ces constantes, ce qui donnera les deux relations
qui ont lieu pour toutes les valeurs de a et de [3.
Si l'on remarque d'ailleurs (n" 336) que chacun des termes de ©, et par suite 0, considéré comme fonction de a et de [3, satisfait à l'équation
on reconnaîtra immédiatement que l'on peut ajouter aux deux équations (33) la suivante
([ui s'obtient en les retranchant l'une de l'autre.
Differentions enfin par rapport à [i la première équation (33); nous obtiendrons
ou, en tenant compte de l'équation précédente,
équation qu'il serait aisé de vérifier directement.
L'ensemble des trois équations (33) et (36) exprime que les
LA SLRFACE DE M. LIOCVILLE. 299
Irois familles de surfaces représentées par les équations
(■37) t> = const.
de de
(38) — = e, = const., -ô = <^^ = const.
dz dp '
se coupent mutuellement à angle droit; et, comme la première famille est composée de surfaces parallèles, les deux autres le sont des deux séries de développables dans lesquelles on peut distribuer les normales aux surfaces de la première famille.
461. 11 ne reste plus qu'à obtenir la signification des constantes a et ^. Remarquons d'abord que ces constantes sont réelles toutes les fois qu'il en est de même des surfaces parallèles ou, ce qui est la même chose, de la fonction 6. En effet, /(p) et /(p>) sont positives; mais y"(pi) est négative. Il faut donc, pour que les dérivées de 0 soient réelles, que Ton ait
(;-a)(s-3)>o, (p,a;(p,^)<o, (p^- a)(pj S) > o:
ces inégalités montrent non seulement que a et ,3 sont réelles, mais aussi que l'on a
a et 3 pourront être les paramètres de deux hvperboloïdes à une nappe, mais non ceux de deux ellipsoïdes ou de deux hvperboloïdes à deux nappes.
Considérons maintenant une des développables représentées par l'équation
-T- = Oi = const.,
qui, différentiée, nous donne
On voit que, si o/ devient égal à x, on a
dpi= G.
Donc toutes ces développables sont tangentes à la surface homofocale dont le paramètre est a.
3oO LIVRE IV. — C HA p. XIV.
De même les développables
// N àe ^
(4U -^ = 0j = const.
dp
sonl toutes tangentes à la surface liomofocale de paramètre ^. Par suite, les deux homofocales de paramètres a et ^ forment bien les deux nappes de la surface des centres de courbure pour les surfaces parallèles représentées par l'équation (S^).
462. Nous allons d'abord développer les conséquences des résultats précédents en ce qui concerne les lignes géodésiques des surfaces du second degré.
Les développables
(42) -- =01 = const.
étant tangentes à la surface liomofocale de paramètre a ont, par suite, leur arête de rebroussement sur la surface de paramètre [i (n" M'J ). Supposons, pour fixer les idées, que cette surface soit un ellipsoïde : en faisant, dans l'équation précédente, ^0= ,â, ou trouvera
Cette équalion représentera une ligne géodésique de l'ellipsoïde (1^), et il résulte des remarques présentées au numéro cité que l'on aura toutes les lignes géodésiques en faisant varier a et la constante du second membre ('). Il suffira d'ajouter que, d'après la forme même de l'équation (43), toutes les lignes géodésiques qui
(') C'est à Jacobi que l'on doit, comme l'on sait, la détermination des lignes géodésiques de l'ellipsoïde. ( Voir la Note von der geodàtischen Linie auf einem Kllipsoïd und den verscliiedenen Anwendungen einer merkwiïrdigen analytischen Substitution, publiée en 1889 au tome XIX du Journal de Crelle, p. 809. ) Cette Note, très importante pour l'histoire des idées de Jacobi et de ses découvertes en Mécanique, a été reproduite en iS^i dans le Journal de LiouviUe (t. VI, p. 267). Elle a provoqué presque immédiatement une foule de travaux intéressants qui figurent dans les tomes suivants de ce Recueil. Dans ces dernières années, la théorie des lignes géodésiques a été reprise par MM. Cayley et Weiefî- STUAss et par plusieurs autres géomètres.
