L.V SUBFACE DE M. I.IOLVILLE. 3oi

correspondent à une même valeur de a seront tangentes à une même ligne de courbure de rellipsoïde; car, si a est, par exemple, le paramètre d'un hyperboloïde à deux nappes, on trouve dz^ o en faisant z =z 7..

463. On peut se proposer de déterminer 1 élément linéaire de l'espace lorsqu'on prend pour coordonnées curvilignes les fonctions 0, ©,, 6->, c'est-à-dire lorsqu'on rapporte les points au svstème triple orthogonal formé par les surfaces parallèles (0) et les deux familles de développables. Un calcul facile donne alors

I ds' =M'-i ('-?K»^»»-?.^ ,,3,

Si l'on remplace So par ,3, on aura l'élément linéaire de l'ellipsoïde (^)

(45) ds*-^de^-i(p - a)(a - pi)d6] :

et il suffit d'appliquer un théorème de Gauss que nous donnerons plus tard pour retrouver les résultats précédents, c'est-à-dire pour reconnaître que les courbes

W, = const.

sont des lignes géodésiques. La formule précédente fera ainsi connaître la longueur de l'arc et les trajectoires orthogonales des géodésiques tangentes à une même ligne de courbure.

464. Nous nous sommes étendu sur les remarques précédentes qui complètent les résultats déjà donnés au n° 442. Nous allons maintenant développer d'autres conséquences et considérer les deux équations simultanées

(46) -— =consl.. vo = const..

di. dp

qui représentent l'intersection de deux développables appartenant à des svlèmes différents, c'est-à-dire une droite tantrenle aux deux surfaces homofocales (a) et (^).

D'après la définition de 6, la longueur s portée sur la droite à

3o2 LIVRE IV. — CHAP. XIV.

partir d'une origine convenablement choisie sera égale à B, On aura

Si nous difTérenlions celle équation en même temps que les deux précédentes, nous obtiendrons un système que l'on ramènera aisément à la forme suivante :

Cl 9\djn

-^ v/(Pi-a)(p,--P)/(pO

ds,

chaque radical devant être pris avec le même signe dans les trois équations.

Les deux premières, qui ne contiennent pas 5, sont évidemment, en coordonnées elliptiques, les équations différentielles d'une droite tangente aux deux surfaces homofocales (a) et (,3). Cette proposition de Jacobi (') donne, dans le cas le plus simple, l'interprétation géométrique du théorème d'Abel. On voit que les équations (48) peuvent être intégrées de deux manières différentes : (m peut d'abord employer des quadratures qui établiront des relations entre des intégrales hyperelliptiques; mais on peut aussi les intégrer algébriquement; car il suffira d'écrire les équations

(49) .^ = ins -f- n, y = m' s -f- «', ^ = ni' s -^ ii,

et d'adjoindre à la condition

«i^ -f- m'- -H /II"- = I

les deux relations qui expriment que la droite est tangente aux deux surfaces homofocales de paramètres a et [3. On remplacera

(') Voir la Noie déjà citée plus haut et la trentième Leçon des Vorlesan^e/i liber Dynaiyiik. On pourra consulter aussi le second Mémoire sur quelques cas particuliers où les équations du mouvement d'un point matériel peuvent s'intégrer publié par M. Liouville en 18^7 {Journal de Liouville, t. XII, i" série, p. /iio).

LA SIRFACE DE M. LIOCVILLE. 3c3

ensuite Jc,y, z en fonction de z, p,, pj ^t l'on obtiendra les intégrales algébriques du système (48). Ces intégrales peuvent être présentées sous des formes très variées ; mais nous nous attacherons surtout aux propriétés géométriques.

465. Jusqu'ici nous avons fait abstraction des signes des radicaux. Si Ton veut déterminer, par exemple, les droites de la congruence qui passent par un point de l'espace, il faudra en tenir compte. Considérons p, p,, z., comme donnés, les deux premières équations (48) déterminent les rapports des différentielles dz, dzf, dz.2. En attribuant aux radicaux tous les signes possibles, on obtiendra quatre directions différentes et, par suite, quatre droites passant par le point considéré. Ces droites sont les intersections des deux cônes circonscrits aux surfaces (a) et (^) qui ont leur sommet au point considéré; elles sont placées symétriquement par rapport aux trois normales aux surfaces homofocales qui se croisent en ce point. L'une d'elles donnera toutes les autres si on la considère comme un ravon incident qui se réfléchit successivement sur les trois surfaces homofocales; et, si Ton veut passer de l'une d'elles à celle qui est placée symétriquement par rapport à la normale de la surface (p,^, il suffira de changer le signe du radical qui entre dans les termes en dzi. Ces remarques très simples nous conduisent à la généralisation suivante des beaux théorèmes de Chastes sur les polygones de périmètre maximum ou minimum inscrits ou circonscrits à une ellipse.

Considérons un rayon lumineux, tangent aux deux surfaces homofocales (a) et (^), qui se réfléchit successivement sur les surfaces homofocales (S,), (So), .... Supposons qu'après un certain nombre de réflexions il vienne coïncider avec sa position initiale. Nous allons montrer que, s'il en est ainsi, la même propriété appartiendra à tous les ravons qui sont tangents aux mêmes surfaces homofocales que le rayon considéré. En d'autres termes, si un polygone est circonscrit à deux sur/aces homofocales et si ses sommets sont placés sur d'autres sur/aces homofocales aux premières, de telle manière que la normale en chacun de ces sommets à la surface homofocale gui contient ce sommet soit la bissectrice intérieure de l'angle formé par les deux côtés qui se croisent en ce sommet, il v aura une inanité de

3o4 LIVRE IV. — CHAP. XIV.

polygones ayant les mêmes propriétés, l'un quelconque des sommets de ces polygones pommant se déplacer arbitrairement sur la surface cju' il est assujetti à décrire.

Nous supposerons, pour plus de netteté, que tous les sommets du polygone décrivent la même surface, par exemple un ellipsoïde (E) de paramètre y. Admettons encore que les côtés soient tangents à un ellipsoïde (Eq) de paramètre ^, qui sera nécessairement intérieur à (E), et à un hyperboloïde à une nappe (Ho)> de paramètre a. Considérons les côtés du polygone comme limités aux sommets A,, Ao, A3, . . . , A„j, Le polygone sera tout entier entre (E) et (Eo); et, si l'on désigne par p, p,, p^ les coordonnées elliptiques d'un de ses points, on aura, d'après cette remarque et les inégalités déjà établies,

Cela posé, considérons les coordonnées elliptiques de chaque point du polygone comme des fonctions de la distance de ce poinl au sommet initial A, , distance ,9 qui croît de zéro jusqu'à la valeur totale du périmètre. Si, pour abréger, on pose

on aura, sur chaque côté,

do dùi dpi

A(p) A(pi) ' A(p2 ) p dçt pi «?pi p-2 dp2

p^ dp p'idpi Pidp-î

Â(yh "" A(p,) ^ A (777

= ds,

les radicaux étant pris chaque fois avec le signe convenable. Ces équations nous donnent

Hp)

dpi

-pl)(?-

-ds

^(Pi) dp2

^ipi) {p — pi)ipl— Pi)

LA SURFACE DE M. LIOVVILLE. 3o5

Par conséquent, lorsque s croîtra, les trois différenlielles do dpi dpi

•^<?)' H?i)* Hpï)

demeureront toujours positives.

Cette remarque étant admise, intégrons la première équation (5-2), l'intégrale étant étendue à tout le contour P du polygone, ce qui donnera

Nous allons calculer la valeur de chacune des trois intégrales ({ul figurent dans cette équation. Pour la troisième, p^ commencera par varier de y à ,3 lorsqu'on passera de A, au point de contact de AjAo avec l'ellipsoïde (Eq). Ensuite, lorsqu'on passera de ce point de contact au sommet Ao, pa décroîtra de ^ à v; mais, comme l'élément de l'intégrale doit rester positif, il faudra changer le signe de A(p2). On aura donc, pour le premier côté,

2 / K,\' Comme il en est de même pour tous les autres, la

dernière intégrale de l'équation précédente aura pour valeur

A étant pris avec le signe +.

Considérons maintenant les deux premières intégrales. Leurs éléments ne présentent aucune discontinuité aux sommets du polygone. En effet, p et p, varient toujours dans le même sens

quand on passe d'un côté au suivant: et, comme — —■> - — ~ con-

servent leurs signes, il en est de même des radicaux A(p), A(o,); p et p, varient donc toujours dans un sens déterminé jusqu'à ce qu'ils atteignent une des limites entre lesquelles ils sont nécessairement compris; p, par exemple, doit être compris entre b et a; s'il a commencé à croître, il atteindra a, puis il décroîtra nécessairement jusqu'à 6, et ainsi de suite; quand on sera revenu au point de départ, il reprendra sa valeur initiale, à laquelle il parviendra nécessairement en croissant, comme cela avait lieu au départ. On aura donc, tous les éléments de l'intégrale étant D. — H. 2o

3o6 LIVRE IV. — on AP. XIV.

positifs,

/•'^'' do r" dû

\c radical étant pris dans le second membre avec le signe -h.

71 est un nombre pair; car il est égal au nombre des points du polvgone pour lesquels p prend la valeur b; et ces points, qui, par suite des inégalités (3()), sont les seuls où le polygone coupe le plan des xz, sont nécessairement en nombre pair.

On trouvera de même .(P)

J A(pO - ./ A(p,)

le radical A ( p, ) étant pris dans le second membre avec le signe + et n' étant encore un nombre pair.

En substituant les diverses valeurs obtenues dans l'équation,

on a donc l'égalité

(55) m\ TT— -^ "- \ TJ— — '^ 77^

n et ?i' étant des nombres pairs. Si l'on avait emplojé la seconde équation (32), on aurait trouvé de même

r^pîdp, , r"pdp , r^'pidp,

^ ^ Jy ^(P2) Jo ^(?) Je ^(Pl)

Nous pouvons conclure immédiatement de ces deux relations an il n'est pas possible en général d' inscrire dans l'ellipsoïde un polygone circonscrit aux deux surfaces (Eo) et (H^).

466. Supposons que les deux équations précédentes soient vérifiées et qu'il y ait un polygone (P), inscrit dans (E), circonscrit à (Eo) et à (Ho). Soient pi et [jt., les valeurs de p et de p) pour le sommet Ai. Si l'on prend un point B, infiniment voisin de A, et que l'on mène de ce point la tangente commune à (Eo), (Ho) qui est très voisine de A, Ao, puis que, du point Bo où cette tangente coupe (E), on mène la tangente commune voisine de A2A3, et ainsi de suite; on finira par obtenir sur (E) un point B', qui sera très voisin de B,, la ligne brisée B, Bo . . .B,„B', s'écartant très peu

LA SrRFACE DE M. LIOIVILLE. 3o7

de AiAo.-.A^A,. Il faut prouver que cette ligne brisée se fermera, c'est-à-dire que B', coïncide avec B,. Soient s' et s', les valeurs de p et de c, relatives au point B', . Nous aurons évidemment

i p' ^p' p\ dp\ pdp pi dpi

\ \{p) "" lip\) ~ A.p) A{p,)

c et s, désignant les coordonnées elliptiques du point B, et les radicaux correspondants avant les mêmes signes dans les deux membres. Ces deux relations peuvent être considérées comme des équations différentielles qui déterminent s' et c', en fonction de s et de p,. Et, comme elles ne se présentent pas sous forme indéterminée pour p = ;jL. p, = u.,. p' = ;jL, p', := |jL,. elles admettent un seul svstème de solutions déterminé par ces conditions initiales. Or ce svstème est évident; il est le suivant

Donc le point B, coïncide avec le point B,, et la proposition est établie.

Tous les polygones ainsi obtenus sont isopérimètres. Cela est évident par la Géométrie: mais on peut aussi le reconnaître en appliquant les raisonnements qui précèdent à la troisième équation (Sa). On trouve ainsi que la longueur du périmètre est (' )

(a-) P = iml -~-i in I ' ' ' ^in I '■ '- ■

{') Les théorèmes relatifs aux polygones inscrits et circonscrits ont été énoncés par l'auteur dans une Note Sur les polygones inscrits et circonscrits à l'ellipsoïde {Bulletin de la Société philomathique, t. VIT, p. 92, 1870). Mais nous préférons renvoyer le lecteur au Mémoire Geometrische Deutung der Additions-Theoreme der hyperelliptischen Intégrale und Functionen \. Ordnung im System der confocalen Flàchen 1. Grades, publié par M. O. Staude, dans les Mathematische Annalen (t. XXII, p. i et i/p; i883). Cet intéressant travail est, à notre connaissance, le premier qui contienne une application développée des propriétés des fonctions H à quatre périodes dans la géométrie des surfaces du second degré. Nous renverrons plus spécialement au Chapitre IV. où sont étudiées les propositions relatives aux polygones inscrits et circonscrits-

Il importe de le remarquer; le théorème donné dans le texte suppose essen-

3o8 LIVRE IV. — CUAP. XIV.

167. L'élude que nous venons de faire nous a permis de compléter les résultats donnés au n" 442. Nous allons maintenant revenir au problème que nous avions posé et déterminer les surfaces pour lesquelles les développables foi^mées par les normales découpent sur les surfaces homofocales un réseau conjugué. V^oici comment on peut y parvenir.

Soit (S) la surface cherchée et M un de ses points. La normal»; en M est tangente à deux surfaces homofocales de paramètres a et P^ et nous savons, d'après le théorème de M. Ribaucour, que l'un de ces deux paramètres demeurera constant lorsqu'on se d('placera sur l'une ou l'autre des lignes de courbure de la surface. Gela posé, considérons la surface de Liouçille (('^), dont les centres de courbure sont disposés sur les deux homofocales (a) et(P):

et disposons de la constante C de telle manière que la surface (B) soit tangente en M à la surface (S). G sera évidemment une fonction ^(a, ,3) de a et de [3, de sorte que la surface cherchée sera l'enveloppe des surfaces (0) représentées par l'équation

lorsqu'on fera varier a et ^. Pour avoir le point M de contact, il faudra joindre à l'équation précédente ses dérivées par rapporl à

tiellement que les côtés du polygone soient formés par les parties réelles et non virtuelles du rayon réfléchi. Il existe des polygones fermés d'une tout autre nature. Étant donnés, par exemple, deux ellipsoïdes homofocaux (EJ, (EJ si, par une droite quelconque, on leur mène des plans tangents, on aura quatre points de contact ao, b^ sur (E„), a,, 6, sur (EJ. Le quadrilatère a^a^b^b^ sera tel que les bissectrices. des angles a,, b^ soient les normales de (E, ), et les bissectrices des angles a^, b^ les normales de (EJ, mais il ne constituera pas une route réelle pour un rayon lumineux ; deux de ses côtés seront formés par les parties virtuelles des rayons réfléchis. De tels polygones mériteraient aussi d'être étudiés; leur théorie offre les rapports les plus étroits avec celle de l'addition des fonctions hyperelliptiques et de certaines surfaces algébriques que nous définirons plus loin.

LA SURFACE DE M. LIOIVILLE. 3o9

a et ^,

de d.i de d-i

dx ôx â^ dp

Or il résulte de létude que nous venons de faire que ces deux équations, considérées indépendamment de la première, représentent en coordonnées elliptiques la normale commune en M aux surfaces (0) et (-). Si Ton fait varier a ou ,3 seulement, il faut que la normale engendre une surface développable. Faisons varier a par exemple: les deux équations nouvelles que l'on obtiendra

Ox- âx- àxO'i Oxd^

jointes aux équations (6o), détermineront le centre de courbure principal et devront, par suite, se réduire à trois. Cette condition, qui est nécessaire, est d'ailleurs suffisante.

Or on a, d'après l'équation (34) à laquelle satisfait 0,

^ ^' Oxd'i 1 \dx d3/

Remplaçant a par sa valeur tirée de la seconde équation ( 6i), on trouve

Kéciproquement, si 'î^(a, ^) satisfait à cette équation, les quatre équations (6o), (6i) se réduiront à trois. La question proposée est donc complètement résolue, et nous pouvons énoncer le théorème suivant :

Les surfaces dont les plans principaux sont conjugués par rapport à une surface du second degré, et, par suite, par rapport à toutes les surfaces homofocales, se divisent en deux classes. Les unes, considérées au n" 4o7, ont leurs normales tangentes à une même surface homofocale et leur théorie se ramène à celle des lignes géodésiques de cette surface. Les autres sont les enveloppes des surfaces de Liouville définies

3 10 LIVRE IV. — ClI A p. XIV.

par V équation

oà 3^(a, P) est une solution quelconque de l'équation linéaire (62).

4'68. Cette équation linéaire a été déjà rencontrée plusieurs fois (n° 336). Nous savons l'intégrer par l'application des méthodes de Poisson et de Riemaun. Son intégrale générale est transcendante et de forme compliquée, mais l'application du théorème d'Abel va nous permettre de reconnaître qu'il existe une infinité de surfaces algébriques déterminées par l'équation précédente.

Posons, pour abréger,

(6.i) F{u) = {u~ol){u— j3)/(«)= Uu — ot.){u—Q){a -- u{b — u){c — u),

et soient P(^^) et Q{it) deux polynômes

( V(u)= ui> -\- m,uf>- ^ -+-

Considérons l'équation

et désignons ses racines par

P) plj ?2; Ihj hi^ • • •) f^ip-Z-

Ces racines, au nombre de 2/j, dépendent des ip — 1 coefficients qui entrent dans P(w) et Q(«); mais nous supposerons toujours que l'on ait

(67) rt = C,

C désignant une constante numérique, de sorte que les deux polynômes contiendront seulement ip — 3 coefficients arbitraires. 11 y aura donc entre les racines trois relations, qui contiennent d'ailleurs a et p. Nous allons montrer que, si l'on élimine a et |3, et si l'on regarde A), ..., /i-yp-z comme des constantes, on aura, en coordonnées elliptiques, l'équation d'une des surfaces cherchées.

LA SURFACE DE il. LIOUVILLE. 3ll

En effet, d'après le théorème d'Abel et l'hypothèse que nous avons faite sur le coefflcient n. les relations entre 2, 0,, s.>, a, 3 se présentent sous la forme transcendante suivante :

^J \/PÏ?n ~^J y/nhT)' ^J y/n?i) ~^J /F(Â7]'

On verra aisément que ce système esP celui que l'on obtient lorsqu'on introduit dans l'équation (63) la solution particulière suivante de l'équation (62)

(69) H., ?; = y /^/<*l^pSrf*„

et lorsqu'on joint à cette équation ses deux dérivées prises par rapport à a et à ^.

Les surfaces que nous venons de définir paraissent mériter une étude approfondie. Elles comprennent comme cas particulier les surfaces du second degré et les cyclides, lorsque p est égal ou inférieur à 4- Les normales donnent lieu à des propriétés remarquables relatives à leur réflexion sur les surfaces homofocales de paramètre hi- ^^ous nous contenterons d'indiquer ici comment on obtiendra les équations qui déterminent la surface.

Dans l'identité

(70) P'(a) - Q*(a) ¥{u) = iu- ',){u - ?, ;(« - ?i) n(« - A/), on fera d'abord u = hi, ce qui donnera 2/) — 3 équations

qui, jointes à l'équation (6j), feront connaître les coefficients de P(«) et de Q(m) en fonction rationnelle des radicaux \/{hi — 3t)(^/ — ,3)- Puis on substituera dans l'identité (70) les valeurs a, b, c pour u, ce qui donnera des équations de la forme suivante :

P(«) = Aa — PK« — ?i)(« — ?î) )/^{a — hi),

3l2 LIVRE IV. — CIIA.P. XIV.

c'est-à-dire

(71) V(a) = s/Ça — b){a — c)x\/n{a — ht),

X désignant l'une des coordonnées rectangulaires du point de la surface cherchée; on obtiendra des expressions analogues pourj)' et z. Les coordonnées rectangulaires sont donc des fonctions ra-

tionnelles, à dénominateur commun, des radicaux y/(/ij — '^ijii — |^). La même propriété appartient aux coordonnées pentasphériques et l'on reconnaît aisément que la surface ne coupe le plan de l'infini qu'en tous les points du cercle de l'infini.

469. Les propositions précédentes comportent une généralisation que nous allons indiquer, bien qu'elle ne se rattache pas directement au sujet traité dans ce Chapitre.

Considérons, d'une manière générale, un système orthogonal pour lequel l'élément linéaire soit donné par la formule

où l'on a

cp(tf) = (« — p)(;i — pi)(?t— P2),

etoi^iy(p) est un polynôme algébrique. La forme précédente de l'élément linéaire convient à deux systèmes déjà rencontrés, celui des surfaces du second degré et celui des cyclides; et ces systèmes sont d'ailleurs les seuls pour lesquels elle ait lieu. La condition d'orthogonalité prendra la forme

(73) A 0, ei,) = M> =^,7^ ;r- — ^ -o.

.«d Cp (p/) dp,- £)p,-

D'après cela, posons

La fonction 0, considérée comme dépendante de a, ,3, y, satisfera aux trois équations

de d.f

de dJt

de a.f

d% ~ di'

L\ SURFACE DE M. LIOU VILLE. 3l3

Cela posé, S étant une fonction de a, ^, v satisfaisant aux trois équations précédentes, considérons le système

qui détermine a, ^, *' en fonction de 0, 0,, So. Nous allons montrer que a, ^3, y 50/1/ les paramètres de trois familles d'un système orthogonal.

On peut joindre, en effet, aux relations précédentes les suivantes

d7.oi dTL&i dxihr dxd-( d^à^ à^ d^

qui en sont des combinaisons linéaires en vertu des équations ( 75). Or, si Ion différenlie les équations (76) en tenant compte des précédentes, on aura

.de /d*-e dKi\ ,

1 ,de /d^e d*-^\ ^

le signe d indiquant les différentielles prises par rapport à p, pi, po seulement. Ces formules permettent de calculer immédiatement les dérivées de a, ,3, v par rapport à s, 0,, 32 et de vériGer la relation d'orlhogonalité.

Le théorème ainsi établi comprend comme cas particulier le précédent, qui s'en déduit en faisant *' = x. La fonction .J(a, ,3, v) contient dans son expression la plus générale trois fonctions arbitraires d'une variable; mais, ici encore, on peut appliquer le théorème d'Abel et obtenir une infinité de svstèmes orthogonaux algébriques. Nous nous contenterons maintenant de ces indications.

3l4 LIVRE IV. — C II A p. XV.