NOTIONS GÉNÉRALES SUR LES CONG RIENCES

qui détermine ici les points focaux. Elle sera de la forme

— i^p-i) .\i{T — Xo)P - ... - o,

les termes non écrits contenant tous en facteur une puissance de X — jjo d'exposant supérieur à/?. On voit que la valeur JCode x sera d'un ordre de multiplicité précisément égal à l'ordre de contact de chaque courbe de la congruence transformée avec le plan des X}\ c'est-à-dire de chaque courbe de la congruence primitive avec la nappe considérée de la surface focale. C'est la proposition que nous voulions établir.

317. On peut raisonner d'une manière analogue lorsque les courbes de la congruence rencontrent toutes une courbe fixe (K). Si

sont les équations de cette courbe, on commencera par remplacer - par z--j-f(x) et y par r— ç;(jc) et la courbe se transformera dans l'axe des x sans que les ordres de contact aient été changés. Substituons à l'un des paramètres a et b qui entrent dans l'équation de chaque courbe de la congruence l'abscisse Xo du point de rencontre de cette courbe avec l'axe des .r, les équations de la courbe prendront la forme

V — \{x — Xo < — B ( j- — Xo )* - ... z-\i(x j-o» - B,(j-- j-o)- - - . ..

A, B, A,, B,. ... désignant des fonctions de Xq et de l'autre paramètre a dont dépendent les courbes de la congruence. L'équation qui déterminera les points focaux sera ici

(x-Xo)(A— -A.j-... = o.

les termes non écrits contenant (x — Xo)'- en facteur. On voit que

le point de rencontre sera un point focal simple, à moins que l'on

n'ait

A Al -— = o

0% Or

ou, en intégrant,