LES CONGRUEJVCES DE CEIICLES ET LES SYSTÈMES CYCLIQUES
Définition de certaines congruenccs spéciales dans lesquelles chaque courbe est rencontrée seulement par deux courbes infiniment voisines. — Cas où les courbes de la congruence sont des cercles. — Enveloppes d'une famille de sphères dépendant de deux paramètres. — Lignes principales de l'enveloppe. — Elles correspondent à un système conjugué ti-acé sur la surface des centres des sphères. — Etude détaillée du cas oii les lignes de courbure se correspondent sur les deux nappes de l'enveloppe. — Les six coordonnées de la sphère variable satisfont alors à une même équation linéaire aux dérivées partielles du second ordre. — Les sj'stèmes cycliques de M. Ribaucour; théorèmes divers. — Différentes manières d'obtenir des systèmes cycliques. — Pour que les lignes asymptotiques se coi'respondent sur les deux nappes de la surface focale d'une congruence rectiligne, il faut et il suffit que les six coordonnées de chaque droite de la congruence vérifient une même équation linéaire du second ordre.
470. Les propriélés des équations linéaires du second ordre, que nous avons employées surtout dans la théorie des congruences rectilignes, peuvent être appliquées aussi à l'étude de certaines congruences particulières formées avec des courbes de degr*; (juelconque.
Considérons des surfaces (S) représentées par une équation de la forme
où les symboles cp^ désignent des fonctions déterminées de x, y^ z et où les coefficients A/ sont des constantes arbitraires. Si l'on prend, par exemple, en faisant « = \,
pour les fonctions cp^, on aura l'équation la plus générale d'un plan. Si, faisant i = 5, on ajoute aux fonctions précédentes
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on a l'équation dune sphère, et ainsi de suite. Il est clair que, si Ton choisit convenablement le nombre / et les fonctions s/, on peut obtenir l'équation la plus générale des surfaces algébriques qui passent par un nombre déterminé de points fixes ou contiennent certaines courbes fixes.
Deux surfaces (I) se coupent suivant une courbe (C) définie par deux équations de la forme
et il est clair que deux courbes (C) ne peuvent se couper en des points distincts dont le nombre dépasse celui des points communs à trois surfaces ^1). 11 faudra, pour que ce nombre maximum soit atteint, qu'il vait une relation linéaire entre les premiers membres des équations des deux courbes. Par exemple, si les surfaces {"îl) sont des sphères, les courbes (G) seront des cercles; el, pour que deux cercles se coupent en deux points, il faut que Tune des quatre équations qui, prises deux à deux, représentent les deux cercles soit une combinaison linéaire des trois autres.
Cela posé, supposons que les coefficients A/. B, soient des fonctions quelconques de deux paramètres variables a el b : on obtiendra une congruence de courbes (C). Nous allons chercher la condition pour que chacune de ces courbes soit coupée dans le nombre maximum de points par deux courbes infiniment voisines de la congruence.
Substituons aux variables a et b les deux fonctions s et z, de ces variables qui demeurent constantes lorsqu'on associe les courbes de la congruence qui se coupent consécutivement. Si 1 on joint aux équations (a) leurs dérivées par rapport à p
"on aura à exprimer que les premiers membres des équations (2) et (3) sont liés par une relation linéaire 5 ce qui conduit à une
série de i^elations de la forme
(4) M^-^--N^==PA,H-QB,,
où M, N, P, Q sont des fonctions déterminées de p et de p, ; et il faudra qu'il en soit de même lorsqu'on pi^endra les dérivées par rtpport à pi, ce qui donnera les relations analogues
qui doivent avoir lieu, comme les précédentes, pour toutes les valeurs de l'indice i.
On peut résoudre comme il suit le système des équations (4) et (5). Substituons à la fonction A,- la combinaison linéaire
MA,--hNB/,
ce qui ne cliange pas les équations de la courbe (G). L'équation (4) prendra la forme
!|-' = PA, + QB,,
et elle déterminera B/('). Si l'on porte la valeur ainsi obtenue dans la seconde équation (9.) et dans l'équation (5), on est conduit au résultat suivant :
Les ('quatioiis qui déterminent les courbes (G) doivent être de La forme
^^kiOi{x, y,z) = 0, (6) \ ^^^
(') L'iijrpolhèse que l'on néglige, où Q serait nul, ne peut conduire qu'à des cungruences comprises dans la formule générale que nous allons obtenir ou à relies (|ui sont définies par les deux équations
qui ne sont pas données, il est vrai, par le système (G), mais qui sont comprises comme cas particulier dans les formules (12), que nous substituerons plus loin aux équations (6 ).
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les différentes fonctions A/ étant des solutions particulières d'une même équation linéaire
OÙ rt, ft, c désignent des fonctions quelconques de o et de p,.
471. Cette proposition permet d'obtenir sans aucune intégration les congrueaces cherchées. Supposons, par exemple, que l'on veuille déterminer toutes les congruences de cercles pour lesquelles chaque cercle est coupé seulement par deux cercles infiniment voisins, mais en deux points par chacun d'eux. On choisira cinq fonctions quelconques 0/ de deux paramètres a et ,3 et l'on écrira l'équation linéaire de la forme
dont les coefficients sont déterminés par la condition que l'équation admette les cinq solutions particulières ^/. Les cercles de la congruence seront déterminés par les deux équations
où Xi sont cinq fonctions linéaires de x- -4- )- -+- z-, x,y, :■, i, par exemple les coordonnées pentasphériques d'un point, et où
le rapport — est défini par la condition que l'équation différeu-
lielle
soit celle de Tune des caractéristiques de l'équation (8). En eflTet, si l'on ramène l'équation (8) à la forme normale, en intégrant les équations différentielles des caractéristiques, les équations (9) prendront précisément la forme (6).
Revenons à ces équations générales; 0 et s, n'y entrent pas svmétriquement; mais on peut obtenir des formules plus élégantes. Nous avons vu, en effet, au n° Âi)'2. qu'étant donnée une solution quelconque 9 de l'équation (7), il est possible de trouver
3l8 LIVRE IV. — Cil A P. XV.
une fonction t, telle que l'on ait
(lo) =„iO + «—, = pO
Oj dp Opi '
G- satisfaisant à une équation de la forme
A chacune des solutions A/ correspondra de cette manière une solution ai de l'équation en t et les équations (6) prendront la forme
où p et p, entrent de la même manière et où les «/ sont des solutions particulières de l'équation (i i). Cette détermination nouvelle des courbes de la congruence donne lieu aux remarques suivantes.
Étant donnée une congruence quelconque, appelons pour un instant surfaces singulières de la congruence les surfaces engendrées par des courbes de la congruence qui se coupent consécutivement. 11 y a généralement (n" 315) autant de séries de surfaces singulières qu'il y a de points focaux sur chaque courbe de la congruence. Ici, au contraire, il y a deux séries seulement de surfaces singulières. Les unes contiennent toutes les courbes de la congruence pour lesquelles p a une même valeur; les autres toutes celles pour lesquelles p, demeure constant. On obtiendrait les unes et les autres en éliminant, soit p, soit p, entre les deux équations (12); nous allons montrer que chacune de ces deux équations (12), considérée seule, représente une surface qui est tangente, en tous les points delà courbe de la congruence, à l'une des deux surfaces singulières qui contiennent celle courbe.
Posons, pour abréger,
(i3) V =^aiOi{x, y,z);
P, considérée comme fonction de p et de p,, satisfera à l'équa-
LES COXGRUENCES DE CERCLES ET LES SYSTÈMES CVCLIQUES. Sig
lion
fPP dP „ dP
et les équations (12) prendront la forme plus simple àP dP
Si nous différentions totalement ces équations, nous trouverons, en tenant compte de l'équation (i4)?
,dP dH^ ^ ,dP d'-P j
dp 00^ apx ôpi
la différentielle d portant seulement sur x^y, z. L'équation du plan tangent à la surface s =^ const. sera donc
jdP
Op
et il est ainsi établi que la surface représentée par la première des équations ( 1 2 ) ou ( [ 5 ) est tangente en tous les points de la courbe à une des surfaces singulières. S'il s'agit, par exemple, dune congruence rectiligne, les deux équations (i5) représentent les plans focaux de la droite. Si la congruence est formée de cercles, elles représentent deux sphères que l'on pourrait aussi appeler les sphères focales; elles contiennent un des deux cercles infiniment voisins du cercle proposé qui le coupent en deux points.
472. L'étude des congruences spéciales de cercles que nous venons de définir doit être associée à celle de la congruence rectiligne formée par les axes de ces cercles. Soient (K) un'cercle de la congruence et {d) son axe. Les droites (<:/) seront tangentes à deux surfaces fixes (S), (S|); désignons, comme nous l'avons fait jusqu'ici, par les lettres (C) et (G,) les courbes, tracées respectivement sur (S) et (S|), qui sont les arêtes de rebroussement des diverses développables formées par les droites {d). Lorsque le cei'cle (R) se déplace de telle manière que deux de ses positions consécutives se coupent en deux points, il est évident que son axe doit engendrer une développable ; car les axes de deux cercles qui se coupent en deux points vont se couper au centre de la
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sphère qui contient ces deux cercles. On voit donc que, pour obtenir les surfaces singulières de la congruence de cercles, il faudra déterminer les développables formées avec les axes {d) de ces cercles. On obtiendra ces développables lorsque la droite [d) se déplacera de manière à rester tangente à une des courbes (G) ou (G,). A chaque cercle (K) correspondent deux points M, M, où l'axe du cercle est tangent respectivement à (S) et à (S,). Décrivons de ces points comme centres deux sphères (S), (S,) contenant le cercle (K.). Lorsque le point M décrira une courbe (G), la sphère (S) enveloppera une des surfaces singulières qu'elle touchera suivant les positions successives du cercle (K.). Lorsque le point M| décrira de même la courbe (G)), la sphère (S|) enveloppera une surface singulière de l'autre série qu'elle touchera suivant les positions successives du cercle (K). Ges relations géométriques sont à peu près évidentes; elles résultent de ce que les sphères (S) et (S|) contiennent chacune, en même temps que le cercle (K.), un des deux cercles infiniment voisins qui le coupent en deux points. On voit qu'aux deux familles de surfaces singulières correspondent, sur (2) par exemple, deux familles de courbes conjuguées décrites par le point M, les courbes (G) tangentes aux axes [d) et les courbes (D) qui correspondent (n" 319) aux courbes (G)) tracées sur(S)).
Les remarques précédentes montrent qu'il convient d'associer l'étude des congruences de cercles à celles des surfaces enveloppes de sphères.
Gonsidérons une sphère définie en coordonnées pentasphériques par l'équation
Xi ■= o,
et supposons que les cinq quantités Ui soient des fonctions quelconques de deux paramètres a et (^. Il y aura toujours une équation de la forme (8) admettant les cinq solutions particulières «/. Supposons cette équation ramenée à la forme normale (^) et proposons-nous de rechercher la propriété géométrique qui caractérise les courbes de paramètres p et p, tracées sur l'enveloppe des sphères.
Ghaque sphère touche cette enveloppe (E) en deux points A et
