LES COXGRUEXCES DE CERCLES ET LES SYSTÈMES CYCLIQUES

B, qui sont définis par l'équation (i6) jointe aux deux suivantes :

Si l'onfait varier infiniment peu s etp,, on aura deux nouveaux points de contact A' et B'; cherchons la condition pour que les quatre points A, B, A', B' soient sur un même cercle et, par suite, dans un même plan.

L'équation générale des sphères passant par les points A et B est évidemment

(18) ^(XM,-r-.u.-^ — u,-^ ja:/ = o,

)v, |JL, a, étant trois arbitraires. Pour que l'une de ces sphères contienne les points A', B', il faudrait que l'on ait

lorsqu'on passera de A à A' ou de B à B'.

Or, si l'on différentie les équations (i6) et (17), on trouvera, en tenant compte de l'équation aux dérivées partielles à laquelle satisfont les cinq quantités iii,

2^ iti dxi = o,

L'emploi de ces formules permet de ramener l'équation (ig) à la forme

et cette nouvelle équation devra être vérifiée lorsqu'on y remplacera les quantités jci par les coordonnées des points A et B. Cela ne peut arriver, en général, que si l'équation est identiquement vérifiée, ce qui donne les deux conditions

•j.dp = o, ui dpi = o.

D — II. o,

On obtient donc les deux solutions

[j. — o, d^i = o; [Xj = o, do = o.

Pour la première, par exemple, on a

dpi = o,

et les sphères représentées par l'équation

(20) / ( Xtf; -{- tJii -r-^ \Xi

àp

passent, quel que soit le rapport , par les quatre points A, B,

A', B'. Ces quatre points sont donc sur un cercle, et nous pouvons énoncer le théorème suivant :

Sur tonte enveloppe de splières à deux paramètres, il y a en général deux séries de lignes que nous appellerons lignes principales de V enveloppe ; elles sont définies par cette propriété que, lorsqu'on se déplace sur l'une d'elles, les quatre points de contact des deux sphères infiniment voisines avec l'enveloppe soient sur un même cercle que nous appellerons cercle principal. Les lignes principales sont les caractéristiques de l'équation aux dérivées partielles qui admet comme solutions particulières les cinq coordonnées homogènes des sphères variables (*).

Lorsque les quatre points de contact, deux à deux infiniment voisins. A, B, A', B' sont sur un même cercle, les cordes de contact AB, A'B' se rencontrent; par suite, les plans focaux de la droite

(') Nous avons admis que la sphère représentée par l'équation (19)^ ne peut con-

Lcnir, quand le rapport '' ' ' varie, les deux points A et B. Cela est vrai, en

généi'al; mais on reconnaîtra aisément qu'il n'en est plus de même dans le cas exceptionnel où les cinq fonctions

Zt^c^i' Zi-ài^" 1^^" IV" 2-^^^

ne sont pas linéairement indépendantes. Mais alors les quantités u- ne seront pas linéairement indépendantes; l'enveloppe sera une surface anallagmatique, les cordes de contact des sphères iront passer par un point fixe, et les lignes principales seront indéterminées.

LES COXGRCEXCES DE CERCLES ET LES SVSTÈVES CYCLIQUES. SîS

AB sont tangents, sur les deux nappes, aux lignes principales; ces lignes se trouvent donc sur les développables de la congruence engendrée par la corde de contact des sphères. Cette proposition pourrait leur servir de définition; mais elle mettrait moins bien en évidence la propriété essentielle des lignes principales qui est de se conserver par l'inversion, comme le montre immédiatement la définition que nous avons adoptée.

D'après les résultats précédents et la formule (20), l'un des cercles principaux aura pour équations

diii

et, si Ton rapproche ces résultats de ceux que nous avons obtenus au n° 470, on reconnaîtra immédiatement que toute congruence de cercles dans laquelle chaque cercle est rencontré par deux cercles infiniment voisins seulement est formée par les cercles principaux d'une enveloppe de sphères.

473. C'est ici le lieu de faire connaître une proposition qui est due à M. Ribaucour (*).

Considérons une surface (2) et soient x, >-, z les coordonnées d'un de ses points. L'équation

< 22) Xî — Yî — Z- — 2:rX — lyX — izZ — t^ — y^ — ^^ — R2 = o

représente une sphère ayant son centre sur la surface. Supposons que la valeur de R soit déterminée pour chaque point de la surface; la sphère enveloppera une des surfaces à deux nappes que nous venons de considérer d'une manière générale. Nous allons montrer que les lignes principales de cette enveloppe correspondent à un système conjugué tracé sur (2).

Prenons comme variables les paramètres p, p, du svstème conjugué qui correspond à la fonction x- -h >'- — z- — K- (n" 107 ) [I, p. i35]. Alors les fonctions

K X, y. z, J7Î —yi — ^2 R2

(') A. RiBACCOUR, Sur une propriété des surfaces enveloppes de sphères {Comptes rendus, t. LWII, p. i334 ; 1868).

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satisferont à une équation linéaire de la forme (i i) et le premier membre de l'équation (22) sera un cas particulier de l'expression générale définie par l'équation (i3), correspondant aux valeurs précédentes des fonctions «/. Les formules (12) deviendront ici

Elles définissent la corde de contact de la sphère variable (22 ) avec son enveloppe. Si l'on remarque maintenant que, d'après la théorie générale, les deux plans représentés par les équations précédentes sont les plans focaux de cette corde de contact, on sera conduit au théorème de M. Ribaucour :

Si une sphère variable dépend de deux paramètres, la corde de contact de cette sphère avec son enveloppe engendre une congruence dont les développahles correspondent à deux familles de courbes conjuguées tracées sur la surface des centres (S), et les tangentes à ces courbes en un point de {^) sont perpendiculaires aux plans focaux de la corde correspondante.

En adoptant les définitions précédentes, nous voyons que les cercles principaux de l'enveloppe ont pour axes les tangentes aux deux familles de courbes conjuguées tracées sur la surface des centres.

474. Si l'on examine la démonstration que nous avons donnée du théorème de M. Ribaucour, on reconnaît que la sphère n'y intervient que d'une manière accessoire et, en quelque sorte, comme élément de construction. Rien ne serait changé aux résultats si l'on substituait à l'équation (22) la suivante

C2(X, Y, Z ) — 2^X — 2jkY — 2^Z -h 0 = o,

où cp(X, Y, Z) désigne une fonction absolument quelconque de X, Y, Z, Q étant d'ailleurs une fonction donnée d'une manière arbitraire des paramètres qui fixent la position du point [x^y^'z) sur la surface. Cette remarque permet de former un grand nombre