LES COXGRCENCES DE CERCLES ET LES SYSTEMES CYCLIQUES
de théorèmes analogues à celui de M. Ribaucour. Xous signalerons seulement le suivant :
U, V, W, P désignant des coordonnées tangenlielles, écrivons l'équation
(24 ) vt ^ v^ — w^ - p — r va - — n - -t- w^ = o,
qui représente une sphère ayant son centre sur la surface (S). Soient maintenants, s, les paramètres du système conjugué, tracé sur cette surface, qui correspond à la fonction R (n** 107) et non plus à la fonction x- -rV- ^ z- — R-. Alors x, y, z-, R seront quatre solutions particulières dune équation de la forme
àpdpi ôp opi
et, si Ton remplace 0 par OR, on reconnaîtra que ^' o ' 5» » satisfont encore à une équation toute semblable, de sorte que l'on pourra appliquer le théorème général à l'équation (24) divisée par R. Les deux équations
auxquelles on est conduit, définissent une droite qui est l'intersection des plans tangents à la sphère aux deux points où elle louche son enveloppe. Elle se trouve dans le plan tangent à (-) et elle est la polaire de la corde de contact par rapport à la sphère. D'après la proposition générale, interprétée en coordonnées tangentielles, les deux points focaux de cette droite sont déterminés par chacune des équations précédentes, considérée seule. On peut donc énoncer le théorème suivant :
Etant donnée une sphère variable dont le centre décrit une surface (S), les deux plans tangents à cette sphère aux points où elle touche son enveloppe se coupent suivant une droite située dans le plan tangent correspondant de (S). Les développables de la congruence engendrée par cette droite correspondent à deux familles de courbes conjuguées tracées sur (2) ;
et les tangentes à ces courbes en un point de (S) vont couper la droite correspondante de la congruence en ses deux points focaux.
475. Ainsi, à chaque enveloppe de sphères on peut faire correspondre deux syslèmes conjugués tracés sur la surface (S). Lorsqu'on se déplace sur une courbe appartenant au premier système, les quatre points de contact de deux sphères consécutives avec l'enveloppe sont dans un môme plan; si l'on se déplace au contraire sur une courbe du second système, les quatre plans de contact de deux sphères consécutives vont concourir en un même point. Ces deux systèmes conjugués sont, en général, distincts; mais ils peuvent devenir identiques. Pour qu'il en soit ainsi, il faut évidemment, lorsque les points de la surface sont définis par deux variables quelconques a et [3, que l'équation linéaire de la forme (8) dont les coefficients sont déterminés par la condition qu'elle admette les solutions particulières i, x,y, z, R, admette aussi la solution particulière
Nous reviendrons sur cette condition; lorsqu'elle sera remplie, on pourra ramener l'équation linéaire à la forme normale
()2 0 c)ô , dO
^ ^^ dp dpi dp dpi
p et p, seront les paramètres du système conjugué tracé sur (S) et l'équation précédente devra admettre les cinq solutions
Si l'on y substitue x- 4-Ji'- + s- — R-, en tenant compte de ce fait que x, y, z, R sont déjà des solutions particulières, on trouvera la relation
que nous allons interpréter géométriquement.
Soient {/Ig. 3i) M le centre de l'une des sphères, A et R les
dx dx dy dy dz dz
dR dR
dp dpi dp dpi dp dpi
dp dpi
LES COXGRUENCES DE CERCLES ET LES SYSTÈMES CYCLIQUES. 3iy
points de contact de cette sphère avec Tenveloppe, C et D les points focaux de la droite CD d'intersection des plans tangents en A et en B. Nous allons montrer que les plans focaux de la droite AB passent respectivement par C et par D.
Nous avons vu que les plans focaux de AB sont représentés par les deux équations (aS). Considérons celui qui est représenté par l'équation suivante :
^ ' d-j -^ ' do dp op
Les points focaux de CD sont représentés de même en coordonnées tangentielles par les équations (26); celui qui est défini par la seconde aura pour coordonnées
dp
, VR/ àpi\H' dpi \ R /
dp,[^) àpi[R) dpX^)
ou, en réduisant,
R dx dR ôpi'
R dv t/R c»pi'
R dz dR dpi
àpi
dp.
Si l'on exprime que ce point est dans le plan focal précédent, on retrouve précisément 1 équation (28».
Il est donc établi que les plans focaux de AB passent par les points CetD; et, comme ils sont respectivement perpendiculaires aux deux tangentes conjuguées MC, MD, le point O où AB coupe
3i8 LIVRE IV. — CIIAP. XV.
le plan tangent en M sera le point de concours des hauteurs du triangle MCD. De plus, d'après un théorème de Géométrie élémentaire, les deux angles GAM, DAM étant droits, il en sera de même de l'angle CAD.
Les développables de AB correspondent à celles de GD, puisque les unes et les autres correspondent aux courbes du système conjugué tracé sur (S); et, de plus, les plans focaux de AB contiennent les points focaux de CD. Donc (n° 424) les tangentes AC et AD seront conjuguées par rapport à la nappe décrite par le point A; et, comme elles sont rectangulaires, elles seront tangentes en A aux lignes de courbure. Gomme on peut répéter le raisonnement pour la nappe décrite par le point B, on voit que les développables de la congruence formée par la droite AB intercepteront sur les deux nappes de l'enveloppe leurs lignes de courbure. Si l'on considère les droites MA comme des rayons incidents qui se réfléchissent sur la surface des centres (S) suivant les rayons MB, on retrouve les systèmes étudiés par Dupin(n° 4o9), dans lesquels les développables formées par les rayons incidents se conservent après la réflexion. Ces développables découpent sur la surface des centres le système conjugué que nous avons considéré au n° 453.
Réciproquement, supposons que les lignes de courbure de la nappe décrite par le point A correspondent à celles de la nappe normale aux rayons réfléchis. D'après la démonstration du n"451, les tangentes en A et en B aux lignes de courbure se couperont en des points G et D situés nécessairement dans le plan tangent en M, et les plans focaux de la droite AB seront les plans ACB, ADB.
Donc (n" 423) G et D seront les points focaux de la droite GD. Les deux systèmes conjugués tracés sur (S) deviendront identiques, puisque les deux paires de tangentes conjuguées relatives à ces deux systèmes se confondent en une seule, formée des droites MC, MD.
476. Les relations géométriques se présentent maintenant en grand nombre. On voit que, lorsque le point A décrit une ligne de courbure de la nappe correspondante, toutes les droites AM, AG, AD, BG, BD, GD, AB, BM, CM, DM décrivent en même temps des développables. H y a trois paires de tangentes con-
