LES CONGRUEXCES DE CERCLES ET LES SYSTÈMES CYCLIQUES. S^Q

juguées : MC et MD pour la surface décrite par le point M; AC, AD et BG, BD pour les surfaces décrites par les points A et B.

Décrivons des points C et D comme centres deux sphères (S|) et (So) passant par A et par B, qui seront nécessairement tangentes en ces points aux lignes de courbure des deux nappes. Ces sphères, qui sont orthogonales, se couperont suivant un cercle (K") ; ce cercle a pour axe la droite CD et coupe à angle droit en A et en B la sphère de centre M. Supposons maintenant que le point M se déplace de telle manière'que le point A, par exemple, décrive la ligne de courbure dont la tangente est AD. La sphère (S,) de centre C enveloppera une surface à lignes de courbure circulaires et la touchera suivant le cercle (K). En effet, la sphère, étant constamment tangente à la courbe décrite par A, sera coupée par la sphère infiniment voisine suivant un cercle passant en A; et, d'autre part, la courbe décrite par le point C ayant CD pour tangente, ce cercle aura pour axe la droite CD. 11 coïncidera donc avec le ceixle V^^)-

Si l'on fait maintenant décrire au point A l'autre ligne de courbure de la nappe ( A\ la sphère de centre D enveloppera une surface à lignes de courbure circulaires, qu'elle touchera aussi suivant le cercle (Kl

Nous obtenons ainsi deux familles distinctes de surfaces à lignes de courbure circulaires se coupant mutuellement à angle droit suivant leurs lignes de courbure circulaires, qui sont les différentes positions du cercle (K). D'après le théorème du n° 441, ces deux familles de surfaces sont orthogonales à une troisième famille. On peut donc énoncer le théorème suivant :

Toutes les fois qiCune sphère variable dépendante de deux paramètres enveloppera une surface sur les deux nappes de laquelle les lignes de courbure se correspondent, le cercle (K) qui est normal à la sphère variable et la coupe en ses deux points de contact coupe à angle droit toute une famille de surfaces. A cette première famille on peut associer deux autres familles orthogonales formées des surfaces à lignes de courbure circulaires obtenues en associant les positions successives du cercle (K) qui se coupent consécutivement .

33o LIVRE IV. — CHAP. XV.

477. La découverte de ces systèmes triples orthogonaux est due à M. Ribaucour ('). Ils constituent une belle généralisation de celui qui est formé par une famille de surfaces parallèles et les développables trajectoires orthogonales. M. Ribaucour y a été conduit par le théorème suivant :

Lorsque les cercles d' une congruence sont normaux à plus de deux surfaces, ils sont normaux à une infinité de surfaces sur lesquelles les lignes de courbure se correspondent et qui constituent^ par suite, une des trois familles d' un système orthogonal.

Pour établir cette proposition, nous envisagerons d'abord les cercles normaux à deux surfaces quelconques (A) et (B). On démontre aisément que ces cercles forment une congruence. Pour les obtenir tous, il suffît de construire une des sphères (S) tangentes à (A) et à (B) : le cercle qui passe par les points de contact de celte sphère avec (A) et (B) en coupant la sphère à angle droit est l'un des cercles cherchés, La surface (S) qui contient les centres des sphères (S) a été considérée par Gergonne; elle est le lieu des points d'où l'on peut mener aux deux surfaces (A) et (B) des normales de longueur égale. Si des rayons lumineux normaux à (A) et partant de (A) se réfléchissent sur la sux-face (S), ils deviendront après la réflexion normaux à (B), et le chemin total parcouru par la lumière sera le même que s'ils étaient partis des différents points de (B).

Gela posé, soit

(29) ^UiXi=0

l'équation en coordonnées pentasphériques de l'une des sphères (S). Les quantités ut dépendent de deux paramètres variables a et [B, et l'on obtiendra les points de contact de la sphère avec les

(') A. Ribaucour, Sur la déformation des surfaces {Comptes rendus, t. LXX, p. 33o; 1870). Sur les systèmes cycliques (Même Recueil, t. LXXVI, p. 47*^; 1878). Sur les faisceaux de cercles (Même Recueil et même tome, p. 83o).