CHAP. XV

donc que l'on ait

dui

pour toutes les valeurs de l'indice i. En éliminant vi^ on sera conduit à une équation aux dérivées partielles de la forme suivante

(34) A— — --hB- — TK + G -^-- -+- D 1-E— ^=0,

qui devra être vérifiée par les cinq quantités ui.

Nous avons au Livre II [I, p. 237] introduit la notation àes six coordonnées de la sphère. Il suffit de joindre aux cinq quantités Ui qui figurent dans l'équation de la sphère la sixième Uq qui est définie par la relation identique

Ici cette sixième coordonnée sera égale à ± i, d'après la relation (21) et, par suite, elle sera aussi une solution de Féquation (34)- Nous pouvons donc interpréter comme il suit la condition trouvée. Les six coordonnées de la sphère (S) doivent satisfaire à une même équation aux dérivées partielles du second ordre. Cette propriété a lieu, en efî'et, lorsque la sixième coordonnée est réduite à une constante, et elle subsiste évidemment quand on multiplie toutes les coordonnées par une fonction quelconque de a et de ,3.

Il est aisé maintenant de reconnaître que la condition précédente, qui est nécessaire, est aussi suffisante. En effet, si l'on désigne par x^y., z\.ç,% coordonnées cartésiennes du centre de (S) et par R son rayon, on déduira facilement des développements donnés au Chapitre VI [I, p. 21 3] que les six coordonnées de la sphère sont des fonctions linéaires de

)., \x, ly, Iz, \\\, \{x'--hy^-\-z^—K'^),

\ étant un facteur de proportionnalité. Si on le réduit à l'unité, on reconnaît que