LES CON'GRUENCES DE CERCLES ET LES STSTÈMES CYCLIQUES

doivent satisfaire à* une même équation linéaire aux dérivées partielles. On retrouve ainsi la condition qui nous a servi de point de départ; et, par suite, le théorème de M. Ribaucour est complètement établi.

On démontrerait de même que, si des cercles sont normaux à deux surfaces et si chacun d^eux est rencontré en deux points par un des cercles infiniment voisins, tous ces cercles sont normaux à une famille de surfaces.

478. Les svstèmes que nous venons d'étudier et auxquels M. Ribaucour a donné le nom de systèmes cycliques jouent le rôle le plus important dans la théorie des surfaces à courbure constante. Pour le moment, nous allons rechercher comment on peut effectivement obtenir de tels systèmes, c'est-à-dire, d'après les propositions précédentes, des enveloppes de sphères pour lesquelles les lignes de courbure se correspondent sur les deux nappes.

Nous nous donnerons d'abord la surface (I!) décrite par les centres des sphères, et nous chercherons à déterminer le ravon R des sphères de manière à satisfaire à la condition énoncée. Gela revient à déterminer les rayons incidents qui se réfléchissent sur (S) et dont les développables sont conservées par la réflexion.

Soient a et ^ les paramètres d'ailleurs quelconques qui fixent la position du point {x, y, z) sur (2). Il faudra exprimer qu'il existe une équation de la forme (34) admettant les cinq solutions

Désignons par la notation 1.3G) Dat^Ctti, «î, «3, «i, «3, Us)

le déterminant formé avec six fonctions, leurs dérivées premières et leurs dérivées secondes ; on voit que R devra satisfaire à l'équation du second ordre

^37) Da?(x,j, ;,i,R,xî--j'î-^!-R!, = o.

En posant, pour abréger,

( 38) dx^- - dy'- — dz'- ^ E di.'- - %¥ du d'i — G rf?*,

on ramènera aisément l'équation précédente à la forme

ÔT.Ô'i

'dRy

dx d'x

dx

Si l'on suppose, par exemple, que a et (3 soient les coordonnées rectangulaires x etj', on trouvera, après quelques réductions,

- {Pq—P'q'){rt'— tr') + (i -^ ^2 ç['^)(^rs'— sr') = o,

les lettres p, q, ;•, .9, t désignant les dérivées de z et les lettres accentuées celles de R.

Cette équation du second ordre est celle que nous avons intégrée dans le Chapitre précédent lorsque la surface (S) est du second degré. On en connaît toujours des solutions particulières, qui correspondent au cas où la sphère mobile ayant son centre sur (S) couperait sous un angle constant une sphère fixe. Dans ce cas, en effet, les lignes de courbure se correspondent sur les deux nappes de l'enveloppe (n" 17i2); et, du reste, le déterminant (37) est évidemment nul, puisqu'il y a une relation linéaire entre les six fonctions avec lesquelles il est formé.