IIX -i- Vy -^ W Z -r- p -r- R \' U'^ -t V'^ -r- W'^ = O
Remplaçons R par sa valeur et supposons
(44) ii^'-^v''--^w'^=i;
nous aurons à prendre l'enveloppe des sphères représentées par l'équation
quand le point (^, y^ z) décrit la surface (S). Le résultat est évident; nous trouverons l'équation tangentielle de la surface dans laquelle on aurait remplacé u, v^ w^ p par u -^ a^ v -\~ b^ w -\- c, p -\-Q. Ainsi :
Pour obtenir l'équation de l' anticaustique relative aux rayons incidents qui sont normaux au plan représenté par
LES COXGRL'ENCES DE CERCLES ET LES SYSTÈMES CVCLIQCES. 337
V équation (40' ^^ cherchera r équation tangentielle homogène
/(", V, w, p) = o de la surface dirimante . Celle de l' anticaustique sera alors
f(u^a, v -z- b, w -T- c, /> -:- 0 ) = o, u, V, iv étant supposés maintenant reliés par Inéquation
Considérons, par exemple, une surface à centre du second degré, rapportée à ses axes de symétrie. Son équation sera
et, par conséquent, celle de l'anticaustlque (A) deviendra
(47) {p^c.y-^x{u^aY^B{v-^by-—C{w-^cy-.
Cette équation développée est de la forme
( 48 ) (/) -r- 0 )- = a i<- -4- 3 t- -h- Y iv2 -f- 9. a' M -f- 2 3' p -T- 2 y' «f ,
déjà considérée au n° 4o7. Elle représente, avec des axes convenablement choisis, la surface la plus générale définie par la condition à^étre corrélative dUine surface du quatrième ordre à conique double et d'admettre elle-même comme conique double le cercle de V infini.
Réciproquement, il est possible de démontrer qu'une surface de cette définition peut être considérée comme une anticaustique relativement à quatre surfaces diff'érentes du second degré. Si l'on identifie, en effet, les équations (47) et (48), on sera conduit à la relation
(a — A)if2-^(^ — B)p2-^(Y — C)tv2
-^ 7.{x' — ka)u ~- i{'^' —Bb)v -^ i(-{ - Cc)w — ka'—^b'-—Cc^'=o.
Elle ne peut avoir lieu que si Ion a
x'=Aa, ^'=B6, 'f' = Ce, a — A^À, ^ — B = À. Y — G=À, X = Aa2-i-B6--+- Ce'-.
On obtient ainsi
L'équation en X fera connaître quatre valeurs différentes de cette inconnue, auxquelles correspondront quatre surfaces différentes du second degré. Ces surfaces seront homofocales; l'indice relatif à chaque réfraction aura pour valeur
(49) n = s/i- fÇk);
et, par suite, la réfraction ne se changera en une réflexion que dans le cas exceptionnel où l'équation en \ aura une racine double (').
48L Dans les applications précédentes, nous avons considéré comme donnée la surface des centres (S), et nous avons cherché le rajon R, c'est-à-dire nous avons déterminé les rayons incidents. Donnons-nous maintenant les rayons incidents, qui seront normaux à une surface (A), et proposons-nous de déterminer les surfaces (S) sur lesquelles on peut faire réfléchir ces rayons de tefle manière que les développables soient conservées par la réflexion. D'après le théorème de Dupin, ce problème peut s'énoncer ainsi :
Étant donnée la surface (A), déterminer toutes les surfaces (S) sur lesquelles les développables formées par les normales de (A) découpent un réseau conjugué.
Soient^, jK, z les coordonnées d'un point de (A), c, c', c" les cosinus directeurs de la normale en ce point. Rapportons la surface au système de coordonnées (p, p,) formé par les lignes de
C) Consulter sur ce sujet :
Laguerre, Sur la tratisformation par directions réciproques {Comptes rendus, t. XCII, p. 71 ; 1881 ).
Darboux, Détermination des lignes de courbure de toutes les surfaces de quatrième classe, corrélatives des cyclides, qui admettent le cercle de l'infini comme ligne double (même Recueil et même tome, p. 29).
LES CO.XGRCBXCES DE CERCLES ET LES STSTÈMES CTCLIQIES. 339
courbure. Nous aurons les équations d'Olinde Rodrigues
/ex '^•^ , o '^^ ày ^ de' dz de
OÙ R et R, désignent les deux rayons de courbure principaux. Si l'on pose
(52) X=x^cf{, Y^r^c'R, Z = c — c'R,
X, 1: , Z seront les coordonnées de l'un des centres de courbure et devront être des solutions particulières d'une équation de la forme
dp ùpi dp ' ôpi
que l'on obtiendrait en éliminant x et c entre les trois premières équations des groupes (5o), (5i) et (02), mais qu'il est inutile de former; on reconnaît immédiatement que sa solution générale s'obtiendra en prenant les valeurs les plus générales de)v, u satisfaisant aux deux équations
ici\ ^^ . Ti^'^ àl dix
^^^> dp--^d^=^^ di,^^%,=^'
et en les portant dans la suivante
(55) e = À-H{xR.
Cette remarque nous donne la solution de la question proposée. Nous avons vu, en effet (n° 418), comment on détermine toutes les surfaces (I) qui sont coupées suivant des courbes conjuguées par les développables d'une congruence, lorsqu'on connaît une des surfaces focales de la congruence et le système conjugué tracé sur cette surface. Appliquons cette solution générale à la congruence formée par les normales de la surface (A). Les coordonnées homogènes du centre de courbure étant X, Y, Z, i, on aura ici, en appliquant les formules (5) [p. 222],
^'-^dp-^^' ^«-V.-^^' ^^ = ^d-p-^d^^
34o LIVRE IV. — CHAP. XV.
Q étant la solution la plus générale de l'équation (53) et Xg, Yo, Zfl, Tq désignant les coordonnées homogènes du point de la surface cherchée (S). Si l'on remplace X, Y, Z, 8 par leurs valeurs déduites des formules (Sa) et (55), on trouve ainsi
(56) Xi=x — c^, Yi = y — c'-, Zi = z — c"-,
X,, Y,, Z, désignant maintenant les coordonnées rectangulaires du point cherché et X, pi les solutions les plus générales du système (54).
On voit que tout se ramène à l'intégration de ce système (54)- On en connaît déjà des solutions particulières
1 = X- -r- y- -i- z'^ , Il = -icx -i- ic'y -+- 2c" z.
Par suite, si l'on élimine X entre les deux équations (54), on sera conduit à l'équation aux dérivées partielles suivante
qui, devant admettre les solutions particulières c, c', c", sera nécessairement V équation tangentielle relative au système conjugué formé par les lignes de courbure de la surface (A).
Nous avons vu (n° 162) que l'intégration de cette équation équivalut à la détermination de toutes les surfaces ayant même représentation sphérique de leurs lignes de courbure que (A).
La sphère qui est normale au rayon incident et au rayon réfléchi a son centre au point (X,, Y,, Z,) et elle touche la surface (A) au point (^, y., z). Son équation s'obtient donc sans difficulté; on peut lui donner la forme suivante :
( +c(X — a;)4-c'(Y— jk) + c"(Z — ^) = o.
Pour déterminer les points où elle touche son enveloppe, on la différentiera successivement par rapport à p et à p, , ce qui donnera.
LES COXGfcUESCES DE CEKCLES ET LES STSTÈMES CTCUQCES. 34 1
en tenant compte da système (54), les deux équations
\ «♦?! «'Pi «Pi
qui représentent un cercle coupant la sphère aux deux points cherchés.
L'un de ces deux points est évidemment le pied de la normale
Les pians tangents en ce point aux trois sphères représentées parles équations (58), (Sg) s'obtiennent immédiatement; ce sont le plan tangent et les deux plans principaux de la surface (A). Par suite, les trois sphères sont orthogonales et le cercle représenté par les équations (59) est celui qui est normal aux deux nappes de Venveloppe.
482. Comme on peut toujours ajouter à u. une constante p^ sans que le système (54) cesse d'être vérifié, on voit que les enveloppes des sphères représentées par l'équation
(60) \ •-:pDX-x).^(Y-^).-rz-.)^]
! -^c(X-jr)^c'(Y— jr)--c^(Z-5) = o
admettront comme trajectoires orthogonales tous les cercles représentés par les équations (59). Nous obtenons ainsi le système triple orthogonal dont nous avions établi l'existence au n" 476; et les valeurs de p^ pi, c^ tirées des formules (Sp) et (60) seront les paramètres des trois familles qui le composent. Voici quelques formules relatives à ce système : Introduisons la fonction auxiliaire h définie par la relation
(6i) X - 2-)î-T- (Y -yy-^ (Z - -;- = - 2X6.
Les formules (69) et (60) pourront être remplacées par le système suivant :
c(X-^)+ C' (Y-J)+ C" (Z-z)-0(,JL-^p2),
— (X — .r)+ — -(Y— jk)+ ^T-(Z — ^)^ 0 1^ ^
<Jp
c*pi
dpi
()pi
Ces équations peuvent être résolues par rapport à X, Y, Z et nous donnent
V A/ X ^ du. de % du. de
e dp dp g dpi dp^
^ c, . , % d\x de' 6 du. de'
Y ~y — 0(u4- Pi)c' -\- - V- -^ 1 "- — ^'
e c^p dp ^ dpi dpi
r, Q . , „ 6 du de" 0 du. de"
e dp dp g dpi dpi
e el g étant les quantités définies par l'identité
( 64 ) dc^-h dc'^ + ^c'2 =edp'^-h g dp \ .
Si l'on porte les valeurs de X, Y, Z tirées des formules (63) dans l'équation (61), on aura la relation
2X , ^,1 /da\2 I /du. \2
qui fera connaître 9.
Des différentialions nous donneront ensuite les dérivées de X, Y, Z par rapport à p, p,, p2. On trouve ainsi
dX d?
ô Tp
de
dja
dp
dX
= f^t^^ft
dX d,3,
6 dp^
dfx dpi
et des formules analogues pour les dérivées de Y et de Z. Ces valeurs permettent de vérifier aisément les relations d'orthogonalité. On en déduit, pour l'élément linéaire relatif au système
