LES CONGRUENCES DE CERCLES ET LES SYSTÈMES CYCLIQUES
orthogonal, la formule
Ob'
(68) rf.'-=e^-<si-l -^ ]edp^-^\ -^ ]s^dp\,
où il faudra remplacer h par sa valeur tirée de l'équation (65).
Lorsqu'on donnera à p^ différentes valeurs constantes, on aura les différentes surfaces qui sont les trajectoires orthogonales des cercles représentés par les équations (09). La surface (A) correspond à l'hypothèse po = x. Il résulte d'ailleurs de la forme des expressions de X, Y, Z, f) par rapport à p^ que quatre trajectoires orthogonales fixes couperont chaque cercle en quatre points dont le rapport anharmonique sera constant. M. Ribaucour a beaucoup insisté sur cette propriété et en a déduit différentes conséquences.
Si l'on prend pour les cosinus directeurs de la normale à une des surfaces les valeurs y, y', y'' définies, en grandeur et en signe, par des formules telles que les suivantes
les rayons de courbure principaux R', R', de la surface seront définis par les relations élégantes
' (>p dp L A J '(>,:, 0;,, L A J
Si l'on se reporte à \dijîg. 3i en supposant que x, y, z soient les coordonnées du point A, on déterminera aisément tous les éléments de la figure. Les coordonnées de M et de B seront données par les formules (56) et (63) j celles de C et de D par les suivantes
de dx
-. .00 , dp
\ de dx
\ <^Pl àpi
auxquelles on ajoutera les valeurs analogues pour \ et Z.
Xi, =x — l -^ = r — A -^ O'J. ok
La détermination des systèmes orthogonaux précédents repose sur l'intégration du système (54). Si l'on prenait pour \ et [j. les combinaisons linéaires suivantes
X = hx -+- ky -h Iz '
ij. = hc -4- /iC' -+- le" -
r- Pi -1- i?i{cx-'- c'y -+- c"z)
des solutions signalées plus haut, on retrouverait le cas particulier déjà étudié [T, p. aSS et suiv.], dans lequel les cercles de la congruence sont normaux deux fois à une sphère ou à un plan. La détermination complète des systèmes orthogonaux correspondants exige seulement l'intégration de l'équation différentielle des lignes de courbure sur la surface proposée.
483. La proposition fondamentale, d'après laquelle les six coordonnées de la sphère qui enveloppe une surface sur les deux nappes de laquelle les lignes de courbure se correspondent satisfont à une même équation linéaire du second ordre, peut recevoir un grand nombre d'applications. Nous verrons, par exemple, que, lorsque les six coordonnées satisfont à l'équation élémentaire
dctd^
la sphère enveloppe la surface la plus générale ayant ses lignes de courbure sphériques dans les deux systèmes; de sorte que la détermination de toute surface à lignes de courbure sphériques dans les deux systèmes se ramène à celle de six fonctions A/ de a et de six fonctions B/ de [i> vérifiant l'identité
On obtiendra de même toutes les surfaces à lignes de courbure sphériques dans un seul système en déterminant toutes les sphères dont les six coordonnées satisfont à une équation linéaire dont un des invariants est égal à zéro. Nous nous contenterons maintenant de ces indications; et nous terminerons ce Chapitre, ainsi que le Livre destiné aux congruences, en remarquant que l'on peut étendre la proposition précédente aux congruences rectilignes.
