LES CONGRUBNCES DE CERCLES ET LES SYSTÈMES CYCLIQUES

Soient (G) une congruence de droites, (1) et (-,) les deux nappes de sa surface focale; chaque droite de la congruence, touchant en un point la nappe (S) et en un point la nappe (->), établit ainsi une correspondance point par point entre ces deux nappes. Les lignes asymptotiques de (-) ne correspondent pas, en général, à celles de (-i)- Mais, si l'on emploie la transformation de M. Lie en l'appliquant à la proposition que nous avons étudiée relativement aux enveloppes de sphères, on est immédiatement conduit au résultat suivant :

La condition nécessaire et suffisante pour que les lignes asymptotiques se correspondent sur les deux nappes (S), (S,) est que les six coordonnées de chaque droite de la congruence, qui sont /onctions de deux paramètres variables, vérifient une même équation linéaire aux dérivées partielles du second ordre.

Appliquons cette proposition aux congruences de normales; j*, y, z désignant les coordonnées du pied de la normale, les six coordonnées de la normale sont

— x~pz, Y—qz. py—qx, —q, — p, l,

p ei q désignant les dérivées de z. Prenons, par exemple, x et y comme variables indépendantes; la condition pour que les lignes asymptotiques se correspondent sur les deux nappes de la surface des centres est

lixy{x-\-pz, y-^qz, py — qx, p, q, i) = o.

Cette équation aux dérivées partielles du troisième ordre est celle des surfaces pour lesquelles les rayons de courbure principaux sont fonctions l'un de l'autre.

CHAP. I. — FORMULES GENERALES. Sij