CHAPITRE I
Définition d'un triédre trirectangle (T) lié à chaque élément de la surface. — Application des formules données dans le Livre I relativement aux déplacements qui dépendent de deux paramètres. — Systèmes de formules (A) et (B). — Directions conjuguées. — Lignes asymptotiques. — Lignes de courbure; équation aux rayons de courbure principaux. — Propriété cinématique des lignes de courbure. — Formules relatives à une courbe quelconque tracée sur la surface. — Théorème de Meusnier. — Courbure normale; courbure géodésique. — Éléments du troisième ordre. — Formules de MM. O. Bonnet et Laguerrc. — Sphère osculatrice.
484. Nous nous proposons maintenant de reprendre l'étude des surfaces en la rattachant directement aux développements donnés dans le Livre I. Nous ferons connaître d'abord différents STStèmes de formules parmi lesquelles se trouvent celles que l'on doit à M. Codazzi.
Considérons une surface quelconque; on peut lier l'étude de cette surface à celle du mouvement d'un système mobile en opérant de la manière suivante.
M désignant un point de la surface, construisons un trièdre trirectangle (T) dont le sommet soit en M et dont l'axe des z soit la normale en M; les axes des x et des )' seront, par suite, situés dans le plan tangent à la surface. Ces axes seront parfaitement déterminés si Ion connaît, pour chaque position du point M, l'angle de l'axe des a; avec l'une des lignes coordonnées, par exemple avec la tangente à la courbe r = const. Sans indiquer, pour le moment, rien de plus précis relativement à leur position
dans le plan langent, nous allons montrer comment les propriétés de la surface et des courbes qui y sont tracées se déduisent de l'étude du mouvement du Irièdre (T).
Remarquons d'abord que, si l'on conserve toutes les notations du Chapitre VII [I, p. 66], ce mouvement est caractérisé par les équations
qui expriment que la surface décrite par le sommet du trièdre est tangente au plan des xj.
Alors les formules du Livre I [I, p. 49 et 66] nous donnent le système suivant :
/ dp àpi dl d^i
\ Oi' du ^ ^ ôv du
(A) / -i ll=,rpi~pri, — i = rzi — cr,,
^ ^ \ di^ du -ri V 1' ,)^, ()n '' '' 1'
f àr dry
et il résulte évidemment des propositions établies au Livre I qu'à tout système de valeurs des quantités p ^ ..., \, ..., satisfaisant à ces équations, correspondra un mouvement parfaitement déterminé, et par conséquent une seule surface.
Si un point rapporté au trièdre (T) a pour coordonnées .r, y, s, on aura, en appliquant les formules (4) [I, p- 67],
( dx -^ \ du -^ \y dv ^ {^q du -\- q^ dv)z — {r du -\- /'i dv)y,
(B) <. dy -^r^ du-{- r^idv ^ {rdu -\- i\dv)x — {p du -+- pydv)z, ( dz -\- {p du -^ pidv)y — {q du -\- qydv)x,
pour les projections de son déplacement sur les axes du trièdre mobile, quand u et ç prendront des accroissements du, dv.
48o. Considérons, en particulier, la surface proposée, qui est parcourue par l'origine du trièdre mobile ; ds désignant la différentielle de l'arc de courbe décrit par cette origine et (o l'angle que fait la tangente à cette courbe avec l'axe des x du trièdre mobile, on aura
(1) c?5 cosco = ^ <fa -h ^1 «ft^, ds ûntii = r^du-\--t]idv.
Ces formules feront connaître l'élément linéaire de la surface, qui aura pour expression
(a) c?5- = (; du -^ ;, dvY -T-{r,du — T,t dvy.
Imaginons que, par un point fixe O de Tespace, on mène des droites parallèles aux axes du trièdre (T). On formera ainsi un trièdre (T,) dont les rotations seront les mêmes que celles du trièdre (T). Si l'on considère le point m à la distance i sur l'axe des z de ce trièdre, il décrira une sphère (S) de rayon i; ce sera évidemment le point qui correspond à M lorsqu'on effectue la représentation sphérique de la surface proposée sur la sphère (S) d'après la règle que nous avons indiquée.
D'ailleurs, si nous appliquons les formules (4) [I? p- 48] relatives au déplacement d un trièdre ayant un point fixe, nous trouverons pour les projections du déplacement du point m sur les axes du trièdre (ïi) ou, ce qui est la même chose, sur ceux du trièdre (T), les valeurs suivantes :
q du -^ qidv. — p du — pidv, o.
Par suite, si nous désignons par d^ l'arc de courbe décrit par le point m et par 9 l'angle que fait cet arc avec Taxe des x du trièdre (T), on aura
(3) di cos^i = q du ^Çidv, dv sin f) = — (p du —pidv).
L'élément linéaire de la sphère sur laquelle on effectue la représentation de la surface aura donc pour valeur
(4) d~- = (/> du -i- ptdv )-— {q du — q^dv)*.
Enfin l'angle (o — B d'une courbe tracée sur la surface avec sa représentation sphérique sera déterminé par lune ou l'autre des deux équations
( rfTsin(t!> — 6) = (/> du -^ pidv) cosu) -^ (q du — q\dv) sinto, ( rfjcos(w — 6) = (gr rf«-t-gr,rft;)cosa) — (j> du —p^dv) sinoi.
Ces formules nous seront très utiles. Nous allons maintenant résoudre quelques-unes des questions les plus importantes qui se présentent dans les applications.
35o LIVRE V. — ClIAP. I.
486. Proposons-nous d'abord d'établir la relation qui doit exister entre deux tangentes conjuguées. Si le point M de la surface décrit une courbe, on obtiendra la conjuguée de la tangente à cette courbe en prenant l'intersection du plan tangent en M avec le pian tangent au point infiniment voisin de la courbe; en d'autres termes, la conjuguée est la caractéristique du plan tangent dans le mouvement du trièdre; elle est le lieu des points de ce plan dont la vitesse est dirigée dans le plan. Les formules (B) donnent les composantes de cette vitesse; si l'on écrit que la composante relative à M:; est nulle, on obtiendra l'équation
( p du -\-p'^dv)y — {q du -h qidv)x = o,
qui représente la tangente conjuguée. Appelons oj' l'angle qu'elle fait avec l'axe des x du trièdre (T); x et y seront proportionnels à costo', sinw', et l'équation précédente deviendra
(6) {p du -\-pidv) sinw' — (q du -^- q^dv) cosw' = o.
Désignons par la lettre o les différentielles relatives à un déplacement suivant la direction conjuguée; on aura
8* cosœ' = ^ Oit -H \\0V, rjs sin to' — r^ Zu -)- r^^ùv.
En substituant ces valeurs de sinw', cosco' dans l'équation que nous venons d'obtenir, on trouvera
( {p^i — qi)duou -r-ipiT,^ — qi\^)dvw
\ ■^{p''^a — q\i)diiZv^{px-r, — qi^)oudv =zo.
Cette relation est, comme il fallait s'y attendre, parfaitement symétrique par rapport aux différentielles d, ù ; car les coefficients de du w et de Sw di' sont égaux en vertu delà dernière des formules (A). Il suit de là que la relation (6) peut aussi être écrite sous la forme suivante :
(6)' (/) ow -l-/)iOp) sinto — (q ou -r- qiOi>) cosw = o.
On pourrait encore établir comme il suit la relation entre deux tangentes conjuguées. On déduit des formules précédentes (3)
(8) d7 cos(oj' — d) — (q du -\- qi c/p) cosw' — (p du -hpi d\>) sinw'.
Or, si les deux directions définies par les angles co, w' sont
FORMULES GÉNÉRALES. 35f
conjuguées, on aura, d'après une propriété déjà démontrée [I, p. 201],
En introduisant celte hypothèse dans l'équation (8), on sera conduit de nouveau à la relation (6).
487. Si l'on suppose que les deux directions conjuguées coïncident, il faudra remplacer partout 0 par d, to' par to; et l'on aura l'équation différentielle des lignes asjmptotiques sous les deux formes suivantes :
. \ {P'r>—gl)du*^(pT,i — gii-^PiT,—qi^)dudv-h{piT,i—qi^i)dvi=o, l (j) du -i- pidv) sinta — {q du -+- qidv)cosoi = o.
En comparant la seconde de ces équations à l'une des formules (5), on reconnaît immédiatement une propriété caractéristique des lignes asvmptotiques; elles font, en chaque point, un angle droit avec Vêlement correspondant de leur représentation sphérique.
La seconde équation (9) exprime aussi, nous le verrons plus loin, que le plan osculateur de la ligne asvmplotique est tangent à la surface.
488. Cherchons maintenant l'équation différentielle des lignes de courbure. On obtient toutes les propriétés essentielles relatives à ces lignes en se plaçant à des points de vue divers, que nous allons successivement examiner.
On peut d'abord chercher les déplacements du trièdre mobile pour lesquels la normale à la surface, axe des z de ce trièdre, engendre une surface développable.
Pour qu'il en soit ainsi, il faudra qu'il existe sur l'axe des ;; du trièdre mobile un point variable
décrivant, dans le mouvement considéré, une courbe constamment tangente à cet axe. Or les projections du déplacement de ce point quand u et v prennent les accroissements du, dv sont, d'après
les formules (B),
^ du -\-iidv 4- (<7 du -h qidv)p,
Tidu-hr^idv — (p du -i-pidv )p,
dp.
Pour que la courbe décrite soit tangente à l'axe des z, il est nécessaire et suffisant que les deux premières projections soient nulles. On a donc
(icO
ç du — ^idç -T- p(q du -h q\dv) = o, Y] du -.- Tji dv — p{p du -\- p\dv) = o.
du
Ces deux équations font connaître à la fois -7- et 0. Cette ^ dv '
dernière quantité est évidemment le rajon de courbure principal
correspondant à la ligne de courbure considérée.
Si l'on élimine p, on obtient l'équation différentielle
( 1 1 ) {p du -^ p\dv){\ du -^\y dv) -\- iq du -+- qidv)(T, du ~ r^^dv) = o,
qui caractérise les deux lignes de courbure. On peut lui donner la forme suivante
(1 \)a (p du -\- pidv) cosw -f- {q du -i- q\,dv) sinw = o,
qui, rapprochée des formules (5), montre que les tangentes à une ligne de courbure et à son image sphérique sont parallèles.
Si l'on élimine au contraire -7- > on obtiendra l'équation aux
dv ^
rayons de courbure principaux
(12) p^ipqi— qpï) — piq-ra — «7 ri — ^Pi-^^ip) -^ ^'''n — -';h = o.
489. On retrouve encore les lignes de courbure en étudiant une des questions fondamentales relatives au déplacement du trièdre (T). Nous avons vu que, parmi les mouvements infiniment petits qui se produisent à partir d'une position donnée, il y en a deux, réels ou imaginaires, qui se réduisent à des rotations. La valeur
de -7- et l'axe de rotation relatifs à ces mouvements sont définis dv
par les équations (6) [I, p. 68] qui se réduisent ici aux sui-
FORMDLES GÉNÉRALES. 353
vantes :
I^du— lidv — {q du-r- qidv)z — (r du — rxdv)y = o, r, du -i- T,,rfp — (rdu — ridv)x — (p du — pidv)z = o, ( p du — pidv)y — ( gr du — qidv)x — o.
On en déduit dabord Téquation (pdu—pidi>){l du ~ lidv) ^ {q du -T- qidv ){r^ du -r-T.,</^•) = o,
qui définit les valeurs de -j- correspondantes aux deux rotations.
Or, dans le cas qui nous occupe, l'équation précédente est celle des lignes de courbure.
De plus, l'axe de rotation relatif à chaque ligne de courbure va rencontrer la normale à la surface au centre de courbure correspondant. Cela résulte de la comparaison des formules (lo) et (i3). En réunissant tous ces résultats, nous pouvons énoncer la proposition suivante :
Bans le déplacement du trièdre (T) lié à la surface, les mouvements infiniment petits qui se réduisent à des rotations sont toujours réels; ils correspondent à des déplacements de C origine s' effectuant suivant les lignes de courbure de la surface. Les axes correspondants à ces rotations, qui sont évidemment situés, pour chaque ligne de courbure, dans le plan normal à cette ligne, vont en outre passer par le centre de courbure principal correspondant.
490. Il nous reste maintenant à étudier les propriétés relatives à une courbe quelconque tracée sur la surface. Nous avons déjà obtenu les formules relatives à la tangente
/ Idu-^hdv
\ COSCU = p-^^ ,
1 ds
T du -^r.dv
ino) = = —
as
Nous allons maintenant indiquer celles qui concernent la normale principale.
Nous savons [I, p. ii] que si, par un point fixe de l'espace, on mène une parallèle à la tangente de la courbe, d'une longueur D. - II. a3
égale à l'unité, la vitesse de l'extrémité de cette parallèle, en supposant que l'arc de la courbe soit égal au temps, sera égale en
grandeur à la courbure de la courbe - et aura la direction et le sens de la normale principale.
Or si, par le même point fixe, on mène des parallèles aux arêtes du trièdre mobile, on formera le nouveau trièdre (Tj) déjà défini, dont les rotations seront, quand on se déplacera sur la courbe,
p du -\- p\ dv q du -^ qxdv r du + ri dv ds ds ds
L'extrémité de la parallèle à la tangente aura pour coordonnées
relatives
coso), sinco, o.
En appliquant les formules (4) [I, p- 48] qui donnent la projection de la vitesse sur les axes mobiles, on obtiendra les formules
' ds ■ — cos^' = — sina)(<fa) -\- r du -\- ry dv),
(i5) / — cosT]' — ^ costx){du} ~{- r du ■+■ ri dv),
ds
— cos ^' = -T- sin o){p du -{- Pi dv) — cos u>{g du -h q^ dv),
^', 7)', "C! désignant les angles de la normale principale avec les axes des x, des y et des z du trièdre (Tj) ou du trièdre (T). Ces relations prouvent que l'on peut prendre
(i6) cos^' = — sinwsinrrr, cos7i'= cosco sinnr, cosÇ' = costît.
m désignera l'angle de la normale à la surface avec le plan osculateur de la courbe; et les formules (i5) pourront être remplacées par les deux suivantes :
(17) = s\n(i){p du -\- pi dv) — cosoj{q du -h qi dv),
, „^ ds sin m , , ,
(18) = du) -T- r du -h /'i dv.
Ces formules appellent plusieurs remarques.
La première nous montre immédiatement que demeure le
cosra
même pour toutes les courbes ayant même tangente. Nous retrouvons ainsi le théorème de Meusnier et nous vovons que notre première formule donne ce que l'on appelle la courbure normale, c'est-à-dire la courbure de la section normale tangente à la courbe.
Quant à la seconde formule, elle définit un élément qui. comme nous le verrons, joue un rôle important dans la théorie de la déformation des surfaces. Considérons le cylindre projetant la courbe sur le plan tangent. D'après le théorème de Meusnier,
sera la courbure de la section normale du cylindre tangente
à la courbe, c'est-à-dire la courbure de la projection de la courbe sur le plan tangent.
M. Liouville, qui l'a considérée après M. O. Bonnet, lui a donné le nom, accepté par tous les géomètres, de courbure géodésique (').
Nous appellerons centre de courbure normale le centre de courbure de la section plane normale tangente à la courbe, et centre de courbure géodésique le centre de courbure de la projection de la courbe sur le plan tangent.
D'après le théorème de Meusnier, ces deux centres se trouvent sur Taxe du cercle osculateur de la courbe considérée.
On sait que l'on appelle ligne géodésique toute ligne dont le plan osculateur est, en chaque point, normal à la surface. L'équation différentielle des lignes géodésiques est donc
(19) dhi -7- r du — ri dv = o.
491. La formule (17) nous permet d'obtenir, d'une manière nouvelle, l'équation différentielle des lignes de courbure. On sait, en effet, que ces lignes sont tangentes aux sections normales de plus grande ou de plus petite courbure. Elles sont donc déter-
(') O. BoxxET, Mémoire sur la théorie générale des sur/aces {Journal de l'École Polytechnique, XXXII' Cahier, p. i; 1848). Présente en i844 à l'Académie des Sciences.
J. LiocviLLE, Sur la théorie générale des sur/aces (Journal de Liouville. t. XVI, p. i3o; i85i).
minées par l'équation
d /costiT
