COST7T

OÙ l'on regarde comme une fonction de a, v et de w. Or

on a

cosTïT . p du ^ Pi dv a du -\- gidv

= sinco r-^ coso) j-^ •

p as as

Les expressions de -t-> -r en fonction de to se déduiront des ^ ds ds

formules déjà données (i4)- On aura

du r,! cosco — ;i sinw o^f^sinw — r^ costo

'ds ~ r^q — ;iT, ' ds~ ^a; — ^1^

En faisant usage de ces équations pour calculer les dérivées de

-î-> -7- considérées comme fonction de la seule variable w et reds ds

tranchant du second membre, après la dérivation, la quantité

iP'^ii —Pi'^i — g^i 4-^iO(sin2w4-cos2oj),

qui est nulle en vertu de la dernière des équations (A), on obtient l'identité

d /costïtX p du -h Pi di> . g du-{- çi dv

(20) — - ( 1 = -2 COSO) -j-^ l-2Sinti>^

dio \ p J ds " ds

dont nous aurons à faire usage. En égalant le second membre à zéro, on retrouve bien l'équation différentielle des lignes de courbure.

492. Nous allons maintenant passer aux éléments du troisième ordre. Remarquons d'abord que les angles V, ^i.', v' de la binormale avec les axes dutrièdre (T) sont connus, puisque nous avons déjà déterminé ceux de la tangente à la courbe et de la normale principale. En appliquant les formules (i) [I, p. 3], on a

(21) cosX' = sinw coszîj, cosiJL' = — coswcosnr, cosv' = sinrar.

Nous savons aussi [I, p. 11] que si, par un point fixe, nous menons une droite de longueur égale à i, parallèle à'ia binormale,

FORMULES GÉNÉRALES. SSy

l'extrémité de cette droite aura, quand on se déplacera sur la

courbe, un déplacement égal à — et la direction de ce déplacement

sera celle de la normale principale. Reprenons donc le trièdre (T,) déjà considéré, avant le point fixe pour origine et parallèle au trièdre (T). L'extrémité de la parallèle à la binormale menée par l'origine aura pour coordonnées

sinw cosTff, — cosu) co5T«i. sinw

elles projections de la vitesse de ce point sur les axes mobiles devront être, en tenant compte des valeurs déjà données des cosinus directeurs de la normale principale,

— sintosioTïT costosinTiT costît

En appliquant donc Tune quelconque des formules (4) [I, p. 48] qui donnent la projection de la vitesse, la dernière par exemple, on aura

co«TîT dm p du ->r- p,dv a du -^ q^dv

= cosra -; — r-^- — — coSTO coso» — -j-^ cosTii sinw

T as as as

et, en divisant par coscr,

, ^ I dm p du-^ px dv q du — qidv .

(22) r- = — r-^- costo — T-^ sinto.

^ ' - ds . ds ds

On voit que le premier membre demeure le même pour toutes les courbes ayant même tangente. Ce résultat important est dû à M. O. Bonnet. On peut encore donner à l'équation précédente la forme suivante :

, „, I dm I d /costbN

la dérivée par rapport à w avant même signification que dans l'équation (20).

493. Pour obtenir tout ce qui se rapporte au troisième ordre, faut encore co mule qui donne

il faut encore connaître -j- • Pour cela nous différentierons la fords

Cette quantité étant toujours considérée comme une fonction de II, V et de w, nous avons

\ p l'~'du\ p / "''^ dv\ p / '' ~ J^ \ p ) OU, en remplaçant diii par sa valeur

sin m ds , ,

■ — r au — /'i clv

déduite de la formule (18),

/costo\ d /cosraX sinTO <7« V d /cosrnX d /cosrrrX"]

On voit que le second membre peut être écrit sous la forme

K ne dépendant que de la direction de la tangente à la courbe.

Quant au premier membre, si l'on y remplace — ( ) par

sa valeur tirée de la formule (28), il ne contient plus que des quantités ayant une signification géométrique simple, etl'on obtient l'équation

, ., jCOSTTT 9. ?>\nTn / ds ,\ ^, , ( 25 ) d 1 djii] —Y^ds,

, • do

qui permettra évidemment de calculer -t^- •

En divisant les deux membres de l'équation (aS) par — ^ — ^ on aura

/ -. . y do f '■>■ ^ d-nj\ Kp

(2b) J:-|tangnT 3 -7- = ^

p ds * \- ds / cosnj

K et ~ — ne dépendant nullement des éléments du second ordre

mais seulement de la direction de la tangente à la courbe, on voit dès à présent que le premier membre de l'équation (26), et aussi

FORMULES GÉXÉRALES. 35g

celui de Téquation (aS) divisé par ds, demeureront les mêmes pour deux courbes ayant la même tangente au point donné, bien que les éléments dont ils dépendent soient du deuxième et du troisième ordre. Nous aurons à développer les conséquences de ce résultat, qui est dû à Laguerre ( * ).

Pour terminer ce qui se rapporte au troisième ordre, nous déterminerons le centre de la sphère osculalrice. En appliquant les formules connues et en désignant par ^0,^05 ^0 les coordonnées du centre de cette sphère, nous trouverons

i a*o costo -i-^o sintu =0,

('>n\ } sinTïT( — ar^ sinio -f- vq cosco) -H -3o coscT — 0.

, f cost«t( Xq smti» — yo costo) -r- Zo sixxxs = ^-z -^ ,

d'où l'on déduit

— Xo Vo . àp

ï siow costo ' ds

az .

^0 = ? COSTÏT .— T -y- sin w.

Les deux premières équations (27) représentent l'axe du cercle

osculateur. En prenant l'intersection de cet axe soit avec la normale, soit avec le plan tangent, on a :

i** Le centre de courbure normale

2° Le centre de courbure géodésique

, . p sin tu s coso)

(30) Xt=—^ , ri= —■ > Zi = o.

sinra sinra

494. Après le troisième ordre, il ne reste plus d'élément géométrique à calculer. Les dérivées des éléments s, t3 et t s'obtiendront par la simple difîerentiation des formules précédentes. Il nous paraît bon toutefois de remarquer que l'on pourra écrire, si

( ' ) Laguerre, Sur une propriété relative aux courbes tracées sur une surface quelconque {Bulletin de la Société philomathique, t. VII, p. 49; «870).

36o LIVRE V. — CHAP. I. — FORMULES GÉNÉRALES.

l'on veut, pour les éléments différentiels d'un ordre quelconque, deux formules analogues aux relations (23) et (2o). Supposons, en effet, que l'on ait une équation de la forme

$ contenant les éléments différentiels de la courbe jusqu'à l'ordre n elK étant fonction seulement de u, ç> et de w. La différentiation de cette équation nous donnera

dK,

— -r— du OU

dK dv

dK doj

diù

1 dédi

[lira

de là

sincT

Oui

doj

dv\ '^Ts)'

Cette formule conserve la forme de celle d'où on l'a déduite : le second membre y dépend seulement de u, p et de iù\ mais le premier membre contient les éléments différentiels de la courbe jusqu'à l'ordre n + I . .

Si l'on applique cette méthode aux deux formules (aS) et (aS), on en déduira deux équations nouvelles se rapportant aux éléments du quatrième ordre, et l'on pourra continuer ainsi jusqu'à un ordre quelconque.

Par exemple, de la formule (23) on déduira la suivante, que nous nous contenterons d'énoncer,

d / 1 dTs\ sinra /2 coscT i \ \

Kl,

ds\x ds j P \ P l^ ^'

K, demeurant le même pour deux courbes qui ont la même tangente, et R, R' désignant les rayons de courbure principaux de la surface.