CHAPITRE II

Formules relatives aux coordonnées obliques, l'élément linéaire étant déterminé par l'équation

rfs' = A' du^ -f- C' d\^ ■+■ a AC cos a du dv.

Angle de deux courbes. — Condition pour que deux directions soient conjuguées. — Lignes asvmptotiqnes. — Lignes de courbure. — Théorème de Gauss. — Courbure totale et courbure moyenne. — Coordonnées curvilignes rectangulaires; formules de M. Codazzi. — Etude particulière relative au système coordonné formé par les lignes de courbure. — Application de la méthode générale au système de coordonnées formé par les lignes de longueur nulle. — Détermination des quantités p, q, r, />,. q^, r,, ç, t„ |,, t., lorsqu'on connaît les expressions des coordonnées rectangulaires x, y, z en fonction de deux paramètres w, V. — Application à l'ellipsoïde que l'on suppose rapporté à ses lignes de courbure.

495. Nous nous sommes conl^nlés jusqu'ici de supposer que l'axe des z du trièdre (T) était la normale à la surface. Dans les questions où intervient l'élément linéaire de la surface, il importe de définir d'une manière plus précise la relation entre le trièdre et la surface, afin de reconnaître quelles sont les quantités qui demeurent invariables quand on déforme la surface.

A la vérité, ce résultat pourrait être atteint avec les notations précédentes; il suffirait de remarquer que, si la surface se déforme en entraînant avec elle le trièdre (T), les translations \, t.. ç,, t,, demeurent invariables et, par conséquent, aussi les rotations /', r^ en vertu de la quatrième et de la cinquième des formules (A). On reconnaîtrait ainsi immédiatement que la courbure géodésique d'une courbe quelconque, le produit des rayons de courbure principaux en chaque point de la surface conservent leur valeur après toute déformation de la surface. Mais ces résultats, et d autres encore, apparaîtront d'une manière plus nette si Ion part d'une forme donnée a priori de l'élément linéaire. Nous allons donc considérer successivement les divers svstèmes de-«o«*dûmïées.

36'2 LIVRE V. — en A P. H.

Supposons d'abord que les points de la surface soient rapportés à des coordonnées obliques pour lesquelles l'élément linéaire prendra la forme

(i) ds''= A'' diû -{- C- di'^-^ -2 XCcosoi du di>.

Pour achever de définir la position du trièdre (T), nous donnerons l'angle m que fait l'axe des x avec la tangente à la courbe ^' = const., c'est-à-dire avec l'arc infiniment petit A du. Si l'on désigne de même par ?i l'angle que fait avec le même axe l'arc infiniment petit Cdv, on aura évidemment

L'angle a n'entrant que par son cosinus dans l'élément linéaire, on peut prendre

11 est aisé de comprendre pourquoi nous ne donnons pas à l'angle m une valeur particulière. Dans le cas des coordonnées rectangulaires, il serait naturel de faire coïncider les axes des x et des y du trièdre mobile avec les tangentes aux courbes coordonnées; mais, si ces courbes ne se coupent pas à angle droit, la Géométrie n'indique aucune position particulière pour les axes du trièdre mobile. Faire coïncider l'un d'eux avec l'une des tangentes aux courbes coordonnées serait détruire la symétrie qui doit exister dans les formules entre les deux variables u et r. Cette symétrie serait conservée, il est vrai, si l'on prenait pour axes les bissectrices des tangentes aux courbes coordonnées; mais ce choix aurait l'inconvénient de ne pas coïncider avec celui qui est le plus naturel quand les coordonnées deviennent rectangulaires. Il nous paraît donc préférable de conserver cette arbitraire m, sauf à lui donner la valeur qui sera la plus avantageuse dans l'étude de chaque question.

Quand u varie seule, l'origine du trièdre décrit dans le plan tangent l'arc Kdii qui fait l'angle m avec l'axe des x. On aura donc

(3) ^ = Acosw, 7i=Asinm, et de même

(4) ^i=Gcosn, 7ii=Csinrt.

Introduisons ces valeurs des translations dans les formules du Chapitre précédent. Le système (A) prendra la forme

dv dq àv dr dv

àpi du

du

du

qr-i — rqt.

rpi—pri,

P9i - 9Pi'

ri = —

dn I /d\ àC \