I î- COS
du C sm X \ dv du ]
\ /dC dA ^ \
sini \du dv / '
dm
'dv
\ A(/>isin/?i — ^iCO«/7i ) = C(/> sin/i — q cos/i).
La quatrième et la cinquième équation ont été résolues par rapport à /' et à r, .
496. L'angle w de la tangente à une courbe tracée sur la surface et la différentielle ds de l'arc de cette courbe seront maintenant définis par les formules
qui donnent
\ ds COS tu = A COS m du -^ G cos n dv, i ds sin w = A sin m du — G sin n dv,
du Ts
sin(/î — w>
ds
«ini'to — #n)
D'après cela, si l'on considère deux courbes différentes passant par le même point de la surface et si l'on désigne par la lettre o les différentielles relatives à la seconde courbe, par tu' l'angle analogue à w, l'angle des deux courbes sera donné par les formules
A* du Zu -H AG cos %{du Zv — dv lu ) — G* dv Zv
i COS((«) — U)') =
I sin(a} — w') =
ds Zs
AG s\ni{dv Zu — du Zv) ds Zs
Cet angle ne dépend, on le voit, que de l'expression de l'élément linéaire; par conséquent, il ne changera pas quand on déformera la surface. Ce résultat avait été déjà signalé (n" 119).
La condition pour que deux directions soient conjuguées de-
364 LIVRE V. — Cil A P. II.
viendra ici
\{q cosm — p sinm) du ou -i- C(<7iCos« — p^'sinn) clv Se
-4-A(^iCosm — jPisin/n) oif clv + C{q cosn —p sinn) du 8f = o.
Par conséquent, l'équation différentielle des lignes asymptotiques sera
K{q cosm—p sinm) du^-+- G(^iCOS/i — jOisinn) dv^
-h [A (^Ticos/n — pis'mm) -h C(q cosn — p s'inn)] dv du ~ o.
Enfin les deux équations qui définissent les lignes de courbure deviendront
A cos m du -H G cos n dv -i- (q du -+- qidv)p = o, A s\n/n du -+- G s'inn dv — (/> du -i- p^dv)p = o.
L'équation différentielle de ces lignes développée s'écrira ( A(/3 coswH- 7 sinm) <:Za2-i- G(/'iCos/i -4- <7isin«) <if2 ( -T- [G(/? cos/i -H ^r sinn) -H A(/)iCOsm -^ q^ûnm)^ du dv = o.
Mais nous devons surtout insister sur la forme nouvelle que prendra l'équation du second degré qui détermine les rayons de courbure principaux. Elle devient ici
( — p[A(/>, cosm-f-<7i sinm) — G(/) cosn h- q sin/i)]-i- AC sin a = o.
On en déduit, par conséquent, en désignant par R, R' les deux rayons de courbure principaux,
(i3) AG sina ( — -f- — j = A(/>i cos/n -+- q^ sinm) — G(/:> cosn -f- q sinn), , - AG sin a
(^4) ^^^^ =pq\ — (]Pi'
Remplaçons prji — ^/?, par son expression déduite de la troisième des formules (A'); il viendra
. -X A G sina ()r dry
ou, en remplaçant r et ;-, par leurs valeurs,
. „, AG sin a d^ct â
[ôG d\ -\ rd\ dC "1
-, r-<^os^ I i I -3 —cos a I
ou dv \ d \ dv du I
A sina J dv \ G sina J*
Celte formule donne immédiatement Je beau théorème de Gauss. Le produit des rayons de courbure principaux ne dépend que de l'expression de Télément linéaire et subsiste quand la surface est déformée sans déchirure ni duplicature.
497. L'expression ^^ a reçu le nom de courbure totale de la surface; celui de courbure moyenne a été donné à la somme
On a écrit des Mémoires pour chercher laquelle de ces deux
quantités doit servir de mesure à la courbure de la surface en un point donné. Les géomètres qui ont traité ce sujet ne se sont pas aperçus qu'ils renouvelaient, sous d'autres espèces, la célèbre question des forces vives, et qu'ils soulevaient une question qui doit se résoudre par une définition de mots. Tout au plus pourraiton essayer de raisonner par analogie, en examinant les propriétés relatives à la courbure des lignes planes qui sont susceptibles d'être généralisées dans la théorie des surfaces. Si toutes ces généralisations se rapportaient, par exemple, à la quantité que nous avons appelée la courbure totale, les géomètres auraient eu quelque raison de réserver le nom de courbure à cet élément. Mais ce moyen indirect de résoudre la question échappe complètement; parmi les propriétés relatives à la courbure dans les lignes planes, les unes admettent une généralisation dans laquelle on emploie la courbure totale; pour d'autres au contraire, il faut faire intervenir la courbure moyenne; quelques-unes d'entre elles admettent même des généralisations différentes dans lesquelles on a à employer tantôt la courbure moyenne, tantôt la courbure totale.
ISous allons d'abord montrer, d'après Gauss, qu'on peut adopter une définition de la courbure totale tout à fait analogue à celle de la courbure dans les lignes planes.
Etant donné un arc de courbe plane, si, parle centre d'un cercle de rayon i, on mène des parallèles aux normales à l'extrémité de cet arc, ces parallèles interceptent un arc de cercle qui est égal à l'angle des tangentes aux deux extrémités de la courbe et qui, par conséquent, mesure ce que l'on appelle la courbure de l arc de courbe.
De même, si l'on considère une étendue de surface limitée par
366 LIVRE V. — eu A p. II.
une courbe fermée et que l'on mène par le centre d'une sphère de rayon i des parallèles aux normales de la surface en tous les points de sa coufbe limite, ces parallèles couperont la sphère suivant une courbe également fermée. Il y aura une portion de la sphère, limitée par cette courbe, qui contiendra tous les points de la sphère correspondants aux différents points du segment de surface considéré. L'aire de cette portion de la sphère s'appellera la courbure totale du segment de surface.
Revenons à la courbe plane. Si l'on divise la courbure totale d'un arc de la courbe par la longueur de cet arc, on démontre que ce quotient tend vers une limite finie et déterminée quand l'are diminue indéfiniment et se réduit à un point; cette limite est, par définition, la courbure en ce point.
Si l'on envisage de même un segment de surface entourant un point M de la surface, et si l'on suppose que l'étendue de ce segmentdiminueindéfiniment, etdans tous les sens, autour du pointM, la courbure totale du segment diminue indéfiniment; mais, si on la divise par l'aire de la même région, le quotient obtenu tendra, comme nous allons le démontrer, vers une limite finie et déterminée, indépendante de la forme du segment. Celte limite est
^^r-, > c'est-à-dire l'élément auquel nous avons donné le nom de
courbure totale au point M.
En nous plaçant au point de vue précédent, il semble donc que l'analogie est complète entre la courbure dans les courbes et la courbure totale dans les surfaces. Mais on peut indiquer d'autres propositions dans lesquelles cette analogie est détruite et qu'on peut généraliser en substituant à la courbure de la ligne plane la courbure moyenne de la surface et non plus la courbure totale.
Imaginons, par exemple, qu'on porte des longueurs infiniment petites sur les normales d'une courbe, de manière à obtenir une courbe voisine. Si h désigne la longueur portée sur chaque normale, l'accroissement de longueur quand on passera de la première courbe à la seconde sera représentée par l'intégrale
où ds désigne la différentielle de l'arc et p le rayon de courbure.
Si l'on opère de même sur une portion de surface, l'accroissement de l'aire, quand on passera à la surface infiniment voisine, sera (n° 185)
d'y désignant l'élément d'aire et R, R' les rayons de courbure principaux. Ici, on le voit, l'élément qui se substitue à la courbure dans la proposition généralisée n'est plus la courbure totale; c'est le double de la courbure moyenne.
Il est inutile d'insister sur cet exemple et sur d'autres que 1 on pourrait invoquer. On peut dire que la courbure totale a plus d'importance en Géométrie; comme elle ne dépend que de l'élément linéaire, elle intervient dans toutes les questions relatives à la déformation des surfaces. En Physique mathématique, au contraire, c'est la courbure moyenne qui paraît jouer le rôle prépondérant.
498. Il nous reste maintenant à bien préciser la définition de la courbure totale et à démontrer la proposition de Gauss que nous avons énoncée plus haut.
Soient M un point de la surface et M' le point correspondant de la sphère de ravon i sur laquelle on effectue la représentation. Menons par M' des parallèles aux. axes du trièdre (T). Xous aurons ainsi un trièdre (T') dont les rotations seront évidemment les mêmes que celles du trièdre (T), et qui jouera par rapport à la sphère le même rôle que le trièdre (T) par rapport à la surlace; car son axe des z sera la normale à la sphère. Soit
ds- — \'- du^ — -2 A' G' cos z' du dv -r- G'* dv*
l'expression de l'élément linéaire de la sphère. L'élément superficiel aura pour valeur
A' G' sina' du dv,
en grandeur et en signe. Gela posé, appliquons à la sphère la formule (i4)-
Nous aurons, puisque les rotations du trièdre (T') sont les mêmes que celles du trièdre (T),
A'G'sina' — pq\ — qpu
et, par suite, en tenant compte de la formule (i4))
AC s'n a
A'C sina' =
RR'
Doncla courbure totale d'une portion delà surface, qui, d'après la définition même de Gauss, est représentée par l'intégrale
A'C sina' du dv
étendue à cette portion de surface, le sera aussi par l'intégrale
'AC sina
RR'
du dv,
étendue à la même région.
Si donc on divise la courbure totale d'un segment de surface par l'aire de ce segment, le quotient sera
'AC sin a
IP
RR'
du dv
SI
AC sina du dv
Poursupprimer toute difficulté relative au choix des coordonnées, désignons par d<7 l'élément superficiel et écrivons le quotient précédent sous la forme
