JJ RR

11 est évident qu'il aura pour valeur

(ïïR')o' |— |— , ) indiquant une moyenne entre toutes les valeurs de rr^ à

l'intérieur du segment considéré. Si l'étendue de ce segment diminue de manière que les distances de tous ses points à un point M de l'intérieur tendent vers zéro, on voit que le rapport précédent aura pour limite la courbure totale de la surface en ce point. Ce rapport n'aurait aucune limite déterminée si, contrairement à l'hypothèse, le segment se réduisait non plus à un point.

mais à une ligne donnée, par la diminution d'une seule de ses deux dimensions.

499. Dans le cas où les coordonnées curvilignes choisies sonl rectangulaires, les formules générales se simplifient beaucoup. Alors on peut faire coïncider l'axe des x du trièdre (T) avec la tangente à l'arc A du, c'est-à-dire avec la tangente à la courbe V = const. Cela donnera

Les formules (.V) prendront la forme plus simple

Aq,-Cp = o. - - -^- = gr, ^ rq,.

,., , I dk dq dqx

i £)C dr dry

elles coïncident, aux notations près, avec celles qui ont été données en premier lieu par M. D. Codazzi (' ).

(') Codazzi (D. ), Mémoire relatif à l'application des surfaces les unes sur les autres, envoyé au Concours ouvert sur cette question, en iSôg, par l'Académie des Sciences (t. XXVII des Mémoires présentés par divers savants à l'Académie des Sciences, imprimé en 1882).

M. Codazzi donne aussi, dans un Appendice à <on Travail, des formules relatives aux coordonnées obliques. Ces formules, différentes du système (A'), sont équivalentes à des relations que nous ferons connaître plus loin (n° 508). Les formules (A'), qui contiennent une arbitraire m, et où toutes les quantités sont définies par leurs propriétés cinématiques, ont été données en 1866 dans le Cours que j'ai eu l'honneur de faire comme suppléant de M. Joseph Bertrand, au Collège de France. M. Combescure, dans un .Mémoire inédit présenté en 1864 à r.\cadémie des Sciences, avait déjà appliqué des considérations de Cinématique à la démonstration des formules de M. Codazzi. Le travail de M. Combescure iTzile des déterminants fonctionnels et des coordonnées curvilignes ; \\ a été publié en 1867 dans les Annales de l'École \ormale (t. IV, i" série).

C'est M. O. Bonnet qui, le premier, a mis en évidence tout l'intérêt et toute l'utilité des formules de M. Codazzi relatives aux coordonnées rectangulaires. Après les avoir démontrées géométriquement dans une Xote sur la théorie de la déformation des surfaces gauches insérée en i8G3 aux Comptes rendus (t. LVII, p. 8o5), l'éminent géomètre en a fait une étude approfondie dans une Addition de 120 pages à son Mémoire sur la théorie des surfaces applicables sur une surface donnée, inséré en 1867 au XLII' Cahier du Journal de l'École Po- D. — II. 24

Les formules (B), [p. 348], qui donnent les projections du déplacement d'un point, prendront ici une forme plus simple et deviendront

/ dx -^ A da -+■ (q du -{- qidv)z — {r du -t- ry dv )y,

(B") < dy -r- Cdv -^ {r du -^ ?-idv)x — {p du -^ p^d\')z,

( dz -h {p du -+- pidç)y — {q du -^ qidv)x.

Quand on aura à appliquer les formules du Chapitre précédent, il faudra adopter les valeurs suivantes des translations

Si l'on considère une courbe quelconque tracée sur la surface, on aura

A du . C dv

z y jiii uj — z —

as as

w désignant maintenant l'angle de la tangente avec l'arc A du. Les lignes de courbure seront définies par les deux équations

^ X du -^ p{q du ^ qi di>) = o, ( C dv — p(p du -r Pi dv) — o;

lytechnique (p. 3i-i5i). Cette partie du travail de M. Bonnet contient une démonstration complète et de nombreuses applications; nous aurons à la citer souvent. M. Bonnet s'est placé au même point de vue que M. Codazzi, et il a défini tous les éléments qui entrent dans les formules par des considérations de pure Géométrie.

Depuis 1867, un grand nombre de recherches ont été publiées sur le même sujet. Nous citerons en premier lieu celles de M. Codazzi insérées dans un grand travail : Sulle coordinate cwvilinee d'una superficie e dello spazio {Jnnali di Matematica de Milan, t. I, p. agS-SiG; t. II, p. 101-119 et 269-287; t. IV, p. 16-25 ; 1867-1869). Nous avons aussi emprunté une formule très élégante à un Mémoire de M. Laguerre Sur les formules fondamentales de la théorie des surfaces publié en 1872 dans les Nouvelles Annales de Mathématiques (t. XI, 2° série, p. 60). Les méthodes de M. Laguerre ont été développées par M. Ch. Brisse dans un Mémoire intitulé : Exposition analytique de la théorie des surfaces. Ce Travail, dont la première Partie a paru en 1874 dans les Annales de l'École Normale (t. 111,2° série, p. 87) se trouve continué, mais non terminé, dans le LIII= Cahier du Journal de l'École Polytechnique (p. 2i3; i883).

Mais je dois surtout signaler, comme offrant le plus d'analogie avec les méthodes suivies dans cette partie de mes leçons, celles que M. Ribaucour a déve-

LES FORMULES DE M. CODAZZI. 3yi

rélimination de s conduira à l'équation différentielle de ces lignes ( 20 ) Ap du'- — Ccji dv'- ~ , Cg — Api) du dv = o,

et celle de ^- à l'équalion aux rayons de courbure principaux (^0 P' (^ - S) - ?^^-P^ - G5-:. - AG = o.

En particulier, la courbure totale de la surface sera donnée par la formule

RR' . dv du àu\X du) t^t^ ' G dv ) '

Enfin la relation entre deux tangentes conjuguées prendra la forme

(23) A g duZu — Cpi dvZv — Aq^ duZv — CpdvZu = o,

et l'équation différentielle des lignes asymptotiques deviendra

( 24 ) A g du'- — Cpi dv-i — {Agi — Cp) du dv = o.

500. On peut encore faire une hypothèse plus particulière, et envisager le cas, très important pour la théorie et les applications, où les deux systèmes de lignes coordonnées sont les lignes de

loppées, d'une manière plus ou moins complète, dans plusieurs de ses travaux, et qui se trouvent exposées d'une manière détaillée, sous le nom de périmorphie, dans le Mémoire couronné par l'Académie de Bruxelles : Étude des élassoidesou surfaces à courbure moyenne nulle {Mémoires couronnes et Mémoires des Savants étrangers publiés par l'Académie Royale de Belgique, t. XLIV; 1881). Toutefois, M. Ribaucour ne considère que des coordonnées curvilignes rectangulaires, il ne donne pas la définition cinématique des quantités qui entrent dans ses formules; les deux systèmes de formules qui tiennent dans sa théorie la place de nos systèmes (A) et (B) nous paraissent moins simples et ont une signification moins précise. Au fond, M. Ribaucour a employé la théorie des mouvements relatifs, mais sans le dire explicitement et sans utiliser toutes les ressources que présente cette théorie.

Les formules de M. Codazzi sont loin d'être les seules qui permettent une étude approfondie de la théorie des surfaces. Nous montrerons plus loin tout le parti que l'on peut tirer du beau Mémoire de Gauss, Disquisitiones générales circa superficies curvas, auquel se rattachent presque tous les travaux des géomètres allemands. Les relations qui y sont établies permettent de traiter complètement toutes les questions essentielles.

Sy** LIVRE V. — cil A p. II.

courbure de la surface. Nous allons indiquer rapidement les formules qui se rapportent à cette hypothèse.

Dans ce cas, l'équation différentielle (20) des lignes de courbure doit être privée des termes en dii^, dv'-. Il faut donc que l'on ait

(9.5) p =^ qi=0.

Les formules de M. Codazzi se réduisent alors aux suivantes :

I dX

ÈEl

G dv'

i dC A du

Six des douze rotations ou translations du trièdre deviennent nulles.

On voit que l'élimination de />,, g, ;-, /•, entre les équations précédentes doit conduire à une relation différentielle entre A et G. On ne pourrait donc pas choisir arbitrairement l'élément linéaire d'une surface rapportée à ses lignes de courbure.

L'élément linéaire d'y de la représentation sphérique prend ici la forme très simple

(26) d<j'- = cfdu^'-+-p\cl\>'^.

On reconnaît ainsi que les lignes de la sphère qui servent d'images aux lignes de courbure se coupent, elles aussi, à angle droit.

Appelons R le rayon de courbure principal correspondant à l'arc A du, R' l'autre rayon correspondant à l'arc Cdç. Les formules (19) nous donnent

L'élément linéaire de la surface peut donc s'écrire

(•28) ds-^ ^ R2^2 chl^. R'2^2 ^^,2

L'équation différentielle des lignes asymptotiques prend l'une

LES FORMULES DE M. CODAZZI. SjS

OU l'autre des deux formes

Xq du- — Cpi dv^ = o, (29) ' l cos^w sin^w

Notons encore qu'en introduisant R, R' à la place de A et de C dans les deux premières équations (A'^'), on obtient les formules

1 du pi ou

qui constituent les relations entre les rayons de courbure et la représentation sphérique. Comme on peut déduire des trois dernières formules (A") la relation différentielle suivante :

entre p^ et q, on voit qu'il sera impossible de prendre pour R et R' des fonctions quelconques de u et de v. Le système (B'') prend ici la forme suivante :

I dx -h- K du-7- qz du — i rdu-^ ry di-)y. (B") . dy —ddv — r du — ry dv)T —p^z dv,

{ dz—pijr dv — qxdu.

oOl . Les systèmes de coordonnées cur\ ilignes que nous menons d'employer sont tous réels. Il arrive fréquemment, dans les recherches les plus importantes relatives à la théorie des surfaces, que l'on est conduit à se servir des coordonnées svmétriquespour lesquelles l'élément linéaire a la forme réduite

(a) ds*- = \\*-dudv.

Dans ce cas encore, il est bon d'indiquer les formules qui peuvent remplacer celles de M, Codazzi.

\ oici comment nous déterminerons ici la position du trièdre (T) qui admet pour axe des z la normale à la surface. Nous prendrons, en chaque point, pour axe des x du trièdre la tangente à la

Sj-i LIVRE V. — CIIAP. II.

courbe

u — p = const.,

et pour axe des jk la tangente à la courbe orthogonale

M -f- t» = const.

Ces hypothèses donnent déjà entre les translations les relations

Identifions maintenant l'élément linéaire de la surface à celui qui est donné par la formule (2) du Chapitre précédent; nous aurons les relations

Nous prendrons

et, par conséquent, les valeurs des quatre translations seront données par les formules suivantes :

p = X, 7] =— Xl,

( ^1 = X, 7(1 = -r- ki.

Il suffit de substituer ces valeurs dans les formules du Chapitre précédent pour obtenir toutes celles qui se reportent aux coordonnées symétriques. Le système (A) nous donnera ici

dp dpi

(A-) \ .^-.-^1^, '^j/yji = ,^^.p,^^

^ ^ \ Ou dv du ^ ^ '

f .(^loffX dr dri

^ ov ov du

Les expressions données par les formules (B) deviennent

l dx ^ \idu -^ dv) -^ (q du -j- qx dv)z — (r du ^ 7'i dv}y,

(B'") ' dj -^ iX{di> — du) ^ {r du ^ 7\ dv)x — {p du -^ pi dv)z,

f dz -{- ip du ■+- pi dv)y — {q du-:- qidv)x.

Les lignes asymptotiques de la surface ont pour équation difi'érentielle

(3[) {q -^ ip ) du^ + ('7i — ipi) dv- + { ipi — ip -^ q ~- q x) du dv = o.

Le système des équallons (lo) (n**-488 ), qui définit les lignes de courbure, prend la forme

l \(du -f- dç) — p{q du — Çi dv ) = o, ( i\{du — dv) -+- p(p du — />, dv ) = o,

p désignant toujours le rayon de courbure principal. L'élimination de -7- conduit à l'équation

(33) z^ipqi — qpi> — ^ pi/?! — p — iq — iq\: — at'À* = o.

qui fait connaître les rayons de courbure principaux. On en déduit

^^'' RR' " X2 dudv '

formule dont on fait un fréquent usage.

L'élimination de p entre les équations 1 •^>2) conduit à l'équation différentielle des lignes de courbure

(35) du-{p — iq ) — dv-{pi -r- iq^) = o.

L'absence du terme en du dv montre immédiatement l'orthogonalité des deux lignes de courbure.

Ô02. En résumé, nous avons à notre disposition quatre systèmes différents de formules se rapportant, respectivement, aux coordonnées obliques, aux coordonnées rectangulaires, aux coordonnées déterminées par les lignes de courbure, aux coordonnées symétriques. Nous allons étudier quelques-unes des questions dans lesquelles ces formules jouent un rôle essentiel. Mais, avant de terminer, nous forons une remarque générale : Dans l'un quelconque des systèmes obtenus, les expressions de /• et de Ti dépendent exclusivement de l'élément linéaire. Il suit de là que la courbure géodésique, dont l'expression contient les seules rotations /•, r,, ne change pas quand on déforme la surface. En particulier, les lignes géodésiques, pour lesquelles la courbure géodésique est nulle et dont l'équation différentielle se forme exclusivement avec l'élément linéaire de la surface, conserveront leur définition lorsqu'on passera de la surface proposée à toute autre surface applicable sur la première.

376 LIVRE V. — CIIAP. II.

Lorsque les recherches que nous aurons à entreprendre devront s'appliquer à tous les cas, nous pourrons employer les formules (kl Chapitre t'^'', en remarquant que ^, ^1, r, , r, ,, ;■, /•, dépendent exclusivement de l'élément linéaire dans tous les systèmes de formules, et demeurent les mêmes quand la surface se déforme en entraînant le trièdre (T).

503. Il nous reste, pour compléter tous ces développements, à indiquer comment on déterminera les différentes quantités qui figurent dans ces systèmes de formules lorsque la surface sera connue et définie; par exemple, lorsqu'on aura les expressions des coordonnées rectangulaires ^,jy, -s d'un point de la surface en fonction des paramètres u et v. Considérons le premier système de formules, celui d'où l'on peut faire dériver tous les autres et qui contient les translations ^, t,, \^, rj,. E, F, G désignant les trois fonctions de Gauss, on aura d'abord

\du ] \àu 1 \.àu ^

,^^ I ^ dx dx dy dy dz dz ^^

' ou ov au ài> ou di>

/dxy /djY fdzy ,, ,

Ces trois équations permettront de déterminer, autant qu'elles peuvent l'être, les quatre translations. Toute hypothèse sur la jnanière dont le trièdre (ï) est attaché à la surface donnera une relation qu'il faudra joindre aux précédentes. Nous pouvons donc considérer les translations comme connues.

Cela posé, conservons, pour déterminer les neuf cosinus qui déterminent la position du trièdre (T), toutes les notations du Livre I [I, p. 2]. La considération des déplacements suivant les courbes coordonnées nous conduira aux six équations

dx du

^dy

dz du

(3;)' \'^ra-r,,b = -,

,,. dz . '' ' àv

qui feront connaître les six cosinus a, b, a' On trouve ainsi

/ dj: dx!

^"= -''ou ■' av

T , dv ày

■' , , àx , ,dx

(38)' JA6 =;,--^f-,

où A désigne le déterminant ;/., — ^i« qui, d'après les formules (36 . a pour valeur

(39) A = ÎT,,-r;;i= = v/EG-F^

Quant aux cosinus directeurs c, c', c" de la normale à la surface, on les déduira de leurs expressions connues [I, p. 3] en fonction des six autres. On trouve ainsi

dv dz dy dz

Ac = -/- :i T^ J- '

du dv dv du

dz dx dz dx (i^) 'i ^^ "^ du ôv ~^ dv dû'

dx dy dx dy

Ac = — — —'

du dv dv du

Il nous reste à déterminer les rotations. On les obtient, par

exemple, en différentiant les formules (3^) et (S^)', qui conduisent ainsi aux suivantes :

c cl

dx du

ç V c c^a -i- Tj ^c db = — ^ (7 du + qi dv) -H V] (/> c?u -!-/'i c?^'),

^1 V c da -t- Tj 1 V c (t/ô ~ — ^liq du -7- q^dv) ^Tiiip du ^ pidv),

SOT* oT* ~dv ^dû ^ Çi^'^?-^'1i^^ + (^'^i —ri'zi){rdu-i-ridv).

En remplaçant c, c', c" par leurs valeurs données plus haut et en introduisant les déterminants D, D', D" définis par l'identité

(4a) D du- -i-^B'dudv -{-B" dv-

dx dx d^x , „ d^x , , d^x . „

— - -r- — — ■ dW' -T- •>. -T ~ du dv -r- : dv^

au ôv au^ ouov Ov-

ôy dy à'- y

du ài^ du-

dz dz d^ z

du dv du'^

du'^

du-

d^y •1 - — ^ du dv dudv

2 du dv

du dv

ov'^ dj z 'dv^

dv"'

on obtiendra, par la résolution des équations précédentes, les valeurs suivantes des rotations :

A2 {p du -^ Py dv) = c{ D' du -r- D" dv ) \^{q du-\~ qidv) = r^ ( D' <r/a -H D" dv )

(43) { ii {r du -^ r^ dv) — — ^1 0?; — fli di] -h

^1 ( D du Tj 1 ( D du dG

2 du I dE

1 dv

V>' dv), B'dv),

\du

2 dv

\dv 2 du )

Nous verrons plus loin que les déterminants D, D', D" jouent un rôle essentiel dans la théorie de Gauss. D'après la dernière des formules précédentes, on reconnaît que les rotations /■ et i\ dépendent seulement de l'élément linéaire de la surface, ce qui est conforme aux résultats déjà signalés (n°502). Quant aux rotations/», q-, Pif q\i elles s'expriment en fonction linéaire de D, D',

LES FORMULES DE M. CODAZZI. SjQ

D". On a, en effet,

Aîp =îD' — tiD, \^q =T.D' — T.,D,

I ^d'-i dr,y I (JE

\ ^'■« = -^'dt^ ""'''' dt; ' 2 dit

Si l'on porte les valeurs de /?, ^, /?,, ^i dans la troisième des relations (5) [I, p. 49], on sera conduit à l'identité

(45) ^'(J>qr-gpi^ = DD'- D"-= 1^ i^£ - ;£' h

établissant entre D, D', D' une relation qui [dépend seulement de l'élément linéaire, et sur laquelle nous aurons à revenir quand nous ferons connaître la théorie de Gauss.

504. Pour indiquer au moins une application, supposons que la surface soit un ellipsoïde rapporté à ses lignes de courbure. On

aura ici

I /c(c — tt.)(c — t^) 1 ''""V {.c — a){c — b)

f{u) désignant la fonction

Le calcul donne

i -^Tyziu — vY{a—b){a — c)(b-c^ \'abc{u — v)'^ ^

^^^^ D' = D' = \/^bc{u-.y .

38o LIVRE V. — CIIAP. II.

Supposons que l'on prenne (5o) ^i^o, t]^o,

ce qui revient à faire coïncider les axes des x et des y du trièdre (T) avec les tangentes aux lignes coordonnées. On aura

et les formules (43) donneront

EG(pdu--pidv)^ /ËD"rfp, E G( g du -h qidi>) = ~~ \/GD du.

On déduira de là

[p=--o, grj = o,

*~ '' ) \labc /u — v sjabc / v — u

Quant aux rotations /•, r,, elles se déduisent de l'élément linéaire par la troisième des formules (43), qui nous donne

r du — ri dv — — -__ -- dv ~ — ■--=- -— du •2/EG t^" 2/EG 'i'^

et, par suite,

) ay/ËG ^^ ~ -i-lu — v) \

,,^ ^ T__ àG ^ I /^J{ÛV ^

! ^ lyJË^àu ' li^u — v)\ —uf{v)

Les formules (2^) nous donnent, par exemple, pour les rayons de courbure principaux, les valeurs suivantes

d'où l'on déduit

R' abc

{^abcy-

\\ abc

{abcy-

Donc, .si^r chaque ligne de courbure, le rayon principal correspondant est proportionnel au cube de Vautre rayon de courbure principal.

LES FORMULES DE M. CODAZZI. 38l

Il résulte des formules (54) que Ion a