G> RR

abc

Par suite, les lignes pour lesquelles la courbure totale demeure constante sont définies par l'équation

uv = const.

Or, si l'on désigne par o la dislance du centre de l'ellipsoïde au plan tangent en un point de coordonnées u, ç, un calcul facile donnera

i. J^ -4 /Mî.

'^"^ oî ~ abc ~\ abc'

Il suit de là que les courbes considérées sont celles que Poinsot a désignées sous le nom de polhodies et qui sont le lieu des points pour lesquels la distance du centre de rellipsoïde au plan tangent conserve une valeur constante.

Des considérations de Géométrie tirées de la théorie des diamètres conjugués, et auxquelles le lecteur suppléera aisément, mettent en évidence une remarquable propriété de ces courbes :

Si, par chaque tangente à une polhodie, on mène un plan normal à Vellipsoïde, la section de l'ellipsoïde par ce plan aura un de ses sommets au point de contact de la tangente.

En d'autres termes, les polhodies sont des courbes telles que chaque section normale tangente à la courbe en un de ses points est surosculée en ce point par un cercle.

Nous retrouverons plus loin cette propriété au n° oiO.

Avant de commencer l'étude détaillée des lignes tracées sur les surfaces, nous allons donner différents Tableaux contenant les systèmes de formules que nous avons obtenus dans ce Chapitre et dans le précédent.

38'2 LIVRE V. — CIIxVP. II.

Tableau I (Chapitre I).

Rotations /?, q^ r\ p^^q^^ r, ; translations ^, •/], o ; Ç,, ''^n? o :

dp

dv

du

= (I^i — rqu

dv

du

= r^ri — rr,i,

dq

dv

dqi

= rpx—pru

^dr, dv

du

= /ii-?n,

dr

dr,

^--pqi- qpi,

Pf'A-

-Pi-^i

^qqi—qi^z;

!dx -h ^ du -^ ^idv -h {q du -+■ q, dv)z — ( r du -^ 7\ dv)y, dy -+- T, du -\-rixdv -^ (r du-h ridv)x — (/> du -r- pidv)z, , dz -i- (p du ~hp\ dv )y — ( q du -^ q, dv )x.

Courbe tracée sur la surface :

(r) ds costo — \ du -r-\idv, ds ?,\nta =^ r^du -^- ri^dv.

Image sphérique de la courbe :

(2) d'i cos% = q du -}- qidv, (ijsinO=: — pdu—pidv,

(3) d<i^ = (p du -\- pi dv)^-^ {q du -i- qi dv)- .

Condition pour que deux directions soient conjuguées :

(4) (p du -i-pidv){T, ^u -4- Tiiùv) — (q du-i- qi dv){^ ou -4- ^lOP) = o. Lignes asymptoliques :

(5) (py] — ql) du^-^-ipi-rii— qi^^i) dv^-{'{prii-i-pir^ — q^^,— q,^) du dv =o,

(6) (p du -h pidv) sinw — ( q du -+- qidv) cosw = o.

Lignes de courbure :

^ du -i- ^idv -r- p(q du -i- qidv) = o,

' y] du ■+- r^idv — p(p du -\- pidv) = o Equation différentielle de ces lignes :

(8) (p du-]-pidv)(^du-^ ^idv) -^ ( q du -7- qidv)(y] du -^ r^^dv) — o,

(9) (p du -h pidv) coso) -f- ( q du -+- q\dv) sintD = o.

Equation aux rayons de courbure principaux :

(10) p^ipqi— qpi) + piqrii— qiri -^ p^i— Pi^) -^ Irn— r^^zi= o.

Courbure totale :

^^1 — TQ^i àr dr^

^") -m-'^-p^^-^^^-d-v-dû'

LES FORMULES DE il. CODAZZI. 383

Tableau II (Chapitre I).

Courbure et torsion dune ligne tracée sur la surface; ç', t/, J^', angles de la normale principale ; )/, ;jl', v', angles de la binormale avec les axes du Irièdre (T) :

( cos;' = — sinwsinni, cost/ = costo sinra, cos^' = cosra. \ cosX' = sinwcosTJj, cosu' = — costocosnr, cosv'=sinnT,

(2) ds = doi — r du — ri dv,

(3 ) — ^^ — ds = sinwi/j du —pidv) — costy(^ du-^ qidv),.

I dxs pdu—pidv qdu — qxdv. i d /cosro",

■■♦''- ds ds ds %d(3i\ p 1

I COST3 dp sincj /2 o^^^ \ v p* ds ~^ p \ T ' ds )

M dji ds dv ds'

td /cosro\ d /cbsnj\l du

td /cosw' d . cosraxl

Centre de la sphère osculatrice (x^, Vo, ^o^ •

/ -To >'o . dp

[ : =: — =^ = Z Sinnî — T COSZn -j-j

1 — sinu> cosw ' ds

Zo= 0 cosGj — T-j- sinci.

' as

Centre de courbure normale (xi,^,, z ^) :

(7) ^.=ri = o, ^1-^-

Centre de courbure géodésique (x2, y-i, ^2) • 0 sinto 0 cosa>

Centre de courbure de la courbe (^3, 1-3, ^3) : 19) a-3 = — p sia a> sia 73, ^^3= p costo siniiT, ^3=pcosTO.

384 LIVRE V. — CIIAP. II.

Tableau III (Chapitre II).

(i) ds^-^ k^ du'^ -^ G^ di>^-]- 2 ACcosoL du di>,

(2) fi — 771 = a,

(3) ^ = Acos7?7, ri=:Asin/?î, Çi^=Gcos«, 7ii = Csinn, / dp ôpi dn I / dk. ■ dC

dv du ^ -' du Gsina \dv ou

,.,. < dci d(/i dm. t /dC dX \

^ ^ \ di> du ^1 Z' 1' 1 ()ç Asina \du dv . /'

I ^Z*^! — <lPi-i A(/?iSin7?7 — <7iCos«ij = C<(/7 sinn — gcosn),

l dx -f- A cos m du — G cosn dv -ry q du + qydv)z — (/- du -h /'i dv)y^

(B) <' «i/ -+- A sin/Ti ofti -1- G sinn dv -+-(/■ c^a-i- ridv)x — {p du-\-pi dv)z,

\ dz -^{p du-\-pidv)y — {q du-^qidv)x,

Ligne tracée sur la surface :

(4; ds cos (xi=^ h. co?, m du-r-Cco?,!! dv, ds 9<\n oi ^^ K un m du -\- C s'\n n dv .

Angle de deux directions :

\ ds os cos(to — co') = A.- du 8m -^ AG cos (x{du ov 4- dv ou) -f- C^ dv oc,

( ds os sin{t)i — ai') ~ \C sina.(dv ou — du^v).

Directions conjuguées :

( A{q cos m — psinm) du ou -h C(qi cos n — pisin/i) dv ov

( -^ A(qiCosm — p^ sin m) du ov -r- C{q cosn — p s'in n) dv ou = o.

Lignes asymptotiques :

{ A(qcosni — p sin tu) du^ I -+- G{qi cosn — pi sinn) dv- -+- iA{qi cos m — pi sin m) du dv = o.

Lignes de courbure :

t A cos m du -1- G cos n dv -~ p{q du -i- qidv) -= o, i A sin/n du -r- G sinn dv — p{p du -n p^dv) = o.

Equation différentielle :

\ A{ p cos 711 -1- q sinmj du^-r- C(piC0sn -r- q^sin n) dv^

f -{-[A(piCosm-T- qismm) -r- C(p cosn -~ q sinn)]dudv = 0

Rayons de courbure principaux :

i — p[A(piCOsm->r- qismm) — C{p cos/2 -i- q sin/i)]-T- AG sina = o,

, , AGsina

Tableau IV (Chapitre II).

Coordonnées rectangulaires quelconques :

<•) ? = A, r, = o, ;i = o, T,j=C, rt = a=:-, m = o.

. , i dX dq dqx

I I <)G dr dri

!cfr ^- A rfa ^- (y du — ^i rfr);; — (r du -r- ri dv)y, ^„, , f/j' ^ Gcff — (r<ia — ridv)x — (p du — pidv)z,

\ dz —ipdu—pidv)y — {q du — qidv)T.

Ligne tracée sur la surface :

(2) ds cosoj — X du, ds siniù = G dv. Directions conjuguées :

(3) Xq duZu — Cpidvw — Xqi{duw-:-dvZu) = o. Lignes asymptotiques :

(4) A^ du-— Cpidv^-r- (Xqi — Cp)dudv = o. Lignes de courbure :

A du -^ z(q du — qi dv ) = o, Cdv — s {p du -T- Py dv) = o.

Équation différentielle :

(6 ) Xp du- -r- C (/i dv- ~ ( Cq -h Xpi) du dv = o.

Rayons de courbure principaux :

^ RR' Ou \X du) dv 'g dv )'

(9) Ac(i-I-)=A/>.-Ggr

386 LIVRE V. — CIIAP. II.

Table \u V (Chapitre II).

Système de coordonnées formé par les lignes de courbure : (i) l^k, 71=0, ?i==o, ï]i=C, /> = O, qx=o,

I dh ~ G ^'

I dC A du

dt^

dr,

dv

du "

du.

= — qrx

Directions conjuguées :

(i) Xqdu^u — Cpidçoi> = o.

Lignes asymptotiques :

(3) Aq du^—Cpidç^^-o, — =r 1 ÏP- = <^-

Rayons de courbure principaux :

q pi

(5) f=.(R'R)^, ^^'^„(R'.R)^L«Mî

Ligne tracée sur la surface :

A du . G dv

COS W = ; — 7 sin to = ; — • j

ds ds

coscj cos^o) sin^to

fe / I I ' J? "" l R ~ R '

I «icj / I I \ .

(7) Z-T77 - iT-K'P'"^^°^^'

COSTÏT dÇ) sillTU /'>. „ dlJ5

2 (^R <^"^ ^dR du^ dç ^dR'dudv^ ^àW dv^

~~ -' du ds* dv ds^ ds ' * c)m o?* û?5^ ^ dv lis'*

Tableal VI ( Chapitre II ).

Coordonnées symétriques :

i dx -i- l{du — dv) —yqdu-r-qi dv)z — ( /• du -r- /'i rft')^, (B) j dy-^il{dv — du)-^irdu-^r^dv)x — ipdu^pidv)z, \ ^^ -^{pdu-^pidv)y—(qdu + qidv)x.

Directions conjuguées :

(3) (q^Ùp)durju^(qi- ipi)dvov-^{q — ip){duZv-^dvZu) = o.

Lignes asymptotiques :

(4) (q^ip)du-i-r-(qi~ipi)dvi-^'i{q— ip)dudv = o. Lignes de courbure :

/3^ \ '^idu — dv)^p(qdu-~qidu)=o,

i\{du — dv) -f- o{pdu--pidv) = o. Equation différentielle :

< ^ ) (P — iq)dui -h (/?, -f- iqi) dv^- = o.

Rayons de courbure principaux :

(7) pKpqi—qPi) — À?(j3i ~p — iq — iq^) — -iUJ^o,

(8) -L - / ^MogX RR' X* dudv

Courbe tracée sur la surface :

ds ds

( 5^rf. == du.-rda^r,d. = d^ - / f^l^ ^« - ^i^ rf,'