COURBURE KORMALE ET TORSION GÉODÉSIQUE

Théorème d'Euler sur la courbure des sections normales. — Formule de M. O. Bonnet. — Théorèmes de M. J. Bertrand. — Introduction de la torsion géodésique. — Expression géométrique des six rotations qui figurent dans les formules données précédemment. - Relations entre les mêmes éléments géométriques dans le cas des coordonnées obliques. — Théorèmes de Joachimsthal relatifs aux lignes de courbure communes à deux surlaces. — Formule de M. Laguerre. Son application à la détermination du rayon de courbure d'une ligne tracée sur la surface aux points où elle est tangente à une ligne asymptotique. -Théorème de M. Beltrami. — Torsion d'une ligne asymplotique. — Formule de M. Bonnet relative au rayon de courbure d'une ligne asymptotiquc. — Application aux systèmes orthogonaux et isothermes.

50o. Nous commencerons par l'étude des deux formules qui donnent la courbure et la torsion

rnsTTT I . / dxi dv\ 1 du dv\

dm I / du, dv \ . / du dv ,

La première nous fait connaître la variation de la courbure normale pour toutes les courbes passant par un même point de la surface. Elle contient donc le célèbre théorème d'Euler relatif à la variation de la courbure des sections normales. Et, en effet, si l'on suppose que les lignes coordonnées soient les lignes de courbure de la surface, et si l'on introduit les simplifications qui résultent de cette hypothèse, les équations précédentes prendront la forme suivante :

cosTîT I cns^tu sin^to

ds La première de ces formules donne immédiatement le théorème

dm i / I I \ • (4) :7;-x = (R'-Rr''^

COIRBIRE NORMALE ET TORSION GÉODÉSIQCE. 889

d'Euler. La seconde, qui a été donnée pour la première fois par M. Bonnet (*), va nous permettre de faire connaître les lois remarquables que M. Bertrand a ajoutées à celles d'Euler (-).

Si Ton considère, sur une surface, un point fixe M et un point M' infiniment voisin, la direction de la normale en M' pourra être déterminée de la manière suivante : i° par l'angle que fait avec la normale en M la projection de la normale en M' sur le plan normal en M qui passe au point M'; a° par l'angle que fait la normale en M' avec sa projection sur ce plan normal.

Le premier de ces deux éléments est évidemment l'angle de contingence de la section normale en M dont le plan passe par M'. Lorsque le point M' tourne autour de M, la variation de cet angle est connue; elle sera donnée par le théorème d'Euler. Avant M. Bertrand, on n'avait pas songé à déterminer la grandeur du second angle et à chercher comment il varie quand le point M' se déplace autour de M; cependant, l'étude de cet élément est essentielle si l'on veut connaître complètement les propriétés du pinceau des normales infiniment voisines de la normale en M. 11 est aisé de reconnaître que cette étude peut se faire complètement au moyen de la formule de M. Bonnet.

Appliquons-la, en effet, aux sections planes normales passant par le point M. Pour ces sections, la torsion est nulle, et la formule (4) nous donnera par conséquent

ds sinia coscd.

Ornr désigne, en général, l'angle du plan osculateur à la courbe avec la normale à la surface. Considérons, dans le cas qui nous occupe, un point M' voisin de M sur la section plane considérée; Ts sera l'angle de la normale en M' avec le plan de la section. Comme, au point M, cet angle est nul, cItts sera, en négligeant les infiniment petits du second ordre, l'angle même considéré par

(') O. BoxxET, Mémoire sur la théorie des surfaces {Journal de l'Ecole Polytechnique, XXXII' Cahier, p. i; i848).

(') J. Bertrand, Mémoire sur la théorie des sur/aces {Journal de Liouville, t. IX, i" série, p. i33; i844).

3(JO LIVRE V. — Cil A P. III.

M. Bertrand qui, du reste, a établi directement la formule précédente.

Cette formule nous montre que c/rn sera nul pour les deux directions principales. En général, les valeurs de cItjs correspondantes à la même valeur de ds et à deux directions rectangulaires seront égales et de signes contraires.

506. On peut substituer à l'angle dm le moment des deux normales en M et en M'. Imaginons une force de longueur égale à l'unité dirigée suivant la normale en M'. Le moment DTl de cette force par rapport à la normale en M sera égal ii O'I, ô désignant la plus courte distance et >^ l'angle des deux droites. Or, si l'on fait glisser cette force sur la normale en M' jusqu'à ce que son point d'application arrive en M', on pourra la décomposer en deux autres forces, dont une sera dirigée suivant la projection de la normale en M' sur le plan normal en M qui contient M', et dont l'autre sera perpendiculaire à ce plan. Le moment de la force sera égal à celui de cette seconde composante, qui est égale à f/m, et dont la distance à la normale en M est évidemment <:/.?, en négligeant dans les deux évaluations les infiniment petits du second ordre. On a donc

OÏL = ^'^i — ds dm — ds^ ( -— — — j sin w cos w.

Il est aisé d'ailleurs de vérifier que cette valeur de OÏL ne change pas quand on passe à toute surface parallèle; car, en remplaçant sinco, costo par leurs valeurs, on trouve

DK- = {K —R)piq du dv;

et les quantités/», , ^, R' — ■ R ne changent pas évidemment (n"500) dans le passage à la surface parallèle.

Si l'on voulait connaître l'angle à des normales en M et en M', on aurait évidemment

ds COS7Tt\2

d^.^i::^i±i^) =(^^+-:i:i^)dsK

o07. La formule de M. Bonnet conduit à d'autres conséquences;

COURBURE NORMALE ET TORSION GÉODÉSIQUE. Sqi

en particulier, elle a donné lieu à linlroduction d'un nouvel élément relatif aux courbes tracées sur une surface.

La fonction - — -r- relative à un point d'une courbe (C) demeurant la même pour toutes les courbes tangentes à la courbe (C) en ce point, considérons, en particulier, la ligne géodésique tangente. Pour cette ligne on a, par définition,

et la fonction précédente se réduit à la torsion. Ainsi

I dxs

■z ds

représente, en un point quelconque d'une courbe (C), la torsion de la ligne géodésique tangente. M. Bonnet lui a donné le nom de torsion géodésique. Cette définition est consacrée bien qu'elle ait l'inconvénient d'éveiller l'idée d'une analogie qui n'existe pas avec la courbure géodésique. La torsion géodésique ne se conserve pas quand on déforme une surface.

Quoi qu'il en soit, une fois que l'on a introduit cette nouvelle notion, il est très aisé de donner des expressions géométriques des six rotations/?, q, r, /?,, ^,, r,.

Désignons par ^^ — ? - — , — les courbures normale et géodésique

fnu pffu tu

et la torsion géodésique de l'arc Xdu et désignons de même par - — > — > — les éléments analogues relatifs à l'arc C dv. Les formules précédemment établies nous donnent

Si les coordonnées curvilignes sont rectangulaires, on fera

= p sinm — g cosm,

pnu

pnv

= Pi sinra ~ qi cosrt,

A dm

Pgu ~ du ' '

— = — p cosm — q s\nm;

= — pi cosn — qi sin