CHAP. III

/i =:^ - , /?2 = o, et les formules précédentes deviendront

Pv,

tu ~'

Nous avons ainsi la définition et l'interprétation géométrique des six rotations. On sait que M. O. Bonnet, dans sa belle démonstration des formules de M. Godazzi, a introduit ces six quantités sans les considérer comme des rotations, mais en s'appuyant uniquement sur leur définition géométrique, telle qu'elle résulte des formules précédentes.

508. Dans le cas des coordonnées obliques, on pourrait introduire, au lieu des six rotations, les expressions des six courbures absolument comme dans le cas des coordonnées rectangulaires et poser

P«ît A

Pnv

= p sin m — q cos m — — Q,

dm du

= — p cos m — q sin m = pi sinn — (/i cosn = Pj, /,Ri^-, />i cosn — qi sin/i = — Qj.

à/i dv

On déduit de là

p =z P cosm — Q sinm, pi = q — P sin m n- Q cos /n, qi =

Pj sinn — Qi cosn, — Pi cosn -!- Qi sinn, dm

COURBURE NORMALE ET TORSION GÉODÉSIQUE. 3ç)3

et. en portant ces valeurs dans les formules (A') [p. 363], on obtiendra le système

C sina \ ôv ou

ArPiCOsa — Qjsina) = C(P sina — O ces a),

\ OV ou du dv

Ces équations, qui coïncident, aux notations près, avec celles que M. Codazzi a données à la fin de son Mémoire, sont évidemment plus compliquées que les formules (A). Ce fait paraît indiquer que l'utilité des formules de M. Codazzi tient surtout à ce que les six éléments géométriques qui v figurent peuvent être considérés comme formant un système de rotations, ce qui n'a plus lieu dans le cas des coordonnées obliques.

o09. M. Bonnet a fait remarquer que sa formule met immédiatement en évidence un théorème important. En effet, d'après cette formule, les seules courbes, passant par un point de la surface, dont la torsion géodésique soit nulle en ce point sont celles qui admettent pour tangentes l'une des directions principales de ce point. Les lignes de courbure sont donc caractérisées par cette propriété que la torsion géodésique est nulle en chacun de leurs points. Ce théorème est quelquefois attribué à Lancret, bien que ce géomètre ne l'ait jamais énoncé. Il est dans les rapports les plus étroits avec les belles propositions que Joachimsthal a données relativement aux lignes de courbure planes ou sphériques, et que nous allons exposer rapidement.

Quand deux surfaces se coupent sous un angle constant, la ligne d'intersection ne peut être ligne de courbure de l'une des surfaces sans l'être aussi de l'autre. En effet, tjt et tts' désignant les angles que le plan osculateur de la ligne d'intersection fait avec les normales aux deux surfaces, il est clair que l'angle des deux normales est nj — ra'. Si cet angle est constant, on aura.

39» LIVRE V. — CHAP. m.

en chaque point de l'intersection,

£ dTJS __ I dTjs'

T ds ~ 1 ds

Cette égalité montre que la torsion géodésique de la courbe a la même valeur quand on la rapporte successivement aux deux surfaces. Elle ne peut donc être nulle pour l'une des surfaces sans l'être aussi pour l'autre.

Réciproquement, si l'intersection de deux surfaces est une ligne de courbure pour les deux surfaces, elles se coupent sous un angle constant^ car on a alors

£ d^ I <rfe' <^7JT dr^'

-c ds ~ ~ '^.~ ~ds' ITs^ Ih'

et, par conséquent, l'angle nr — rn' est constant.

Dans le cas où l'une des surfaces est un plan ou une sphère, ces propositions donnent les corollaires suivants :

Si un plan ou une sphère coupe une surface sous un angle constant, l'intersection est ligne de courbure de la surface.

Si une ligne de courbure est plane ou sphérique, le plan ou la sphère qui contient la courbe coupe la surface sous un angle constant.

Il suffit, pour rattacher ces propositions aux précédentes, de remarquer que toute ligne plane ou sphérique est ligne de courbure du plan ou de la sphère sur laquelle elle est tracée.

Au reste, toutes ces propositions ont leur véritable origine dans la théorie des développées des courbes gauches. Nous avons vu, en effet [I, p. i8], que toute normale d'une courbe gauche qui enveloppe une développée fait avec le plan osculateur un angle V défini par la formule

Etant donnée une courbe tracée sur une surface, pour qu'elle sojt une ligne de courbure, c'est-à-dire pour que la normale à la surface en tous ses points enveloppe une développée delà covirbe, il sera nécessaire et suffisant que la relation précédente soit véri-

COURBURE NORMALE ET TORSION GÉODÉSIQUE. Sgi

fiée quand on y remplace V par cr, ce qui est le théorème énoncé plus haut.

On démontrera de même les théorèmes de Joachimsthal. Par exemple, si deux, surfaces se coupent suivant une ligne de courbure commune, les normales aux deux surfaces en chaque point de cette courbe enveloppent deux développées distinctes; et, par suite, elles se coupent sous un angle constant. Les propositions réciproques s'établissent par des considérations analogues.

Le théorème de Joachimsthal conduit à une conséquence que nous avons déjà signalée [I, p. 3i6], sans la démontrer. Toutes les fois qu'une surface admet une ligne de courbure plane, la représentation sphérique de cette ligne de courbure est un cercle dont le plan est parallèle à celui qui contient la ligne de courbure. En effet, la normale à la surface en tous les points de la ligne de courbure fait alors un angle constant a avec la perpendiculaire au plan de cette ligne. Par suite, la représentation sphérique de la ligne de courbure sera le lieu des extrémités des rajons de la sphère qui font l'angle a avec cette perpendiculaire : ce sera un grand cercle si le plan de la ligne de courbure est normal à la surface et un petit cercle si l'angle a n'est pas droit; mais, dans l'un et l'autre cas, le plan de ce cercle sera évidemment parallèle à celui de la ligne de courbure.

Réciproquement, si la représentation sphérique d'une ligne de courbure est formée par un cercle de la sphère, la tangente en tous les points de celte ligne sera parallèle au plan du cercle; et. par conséquent, la ligne elle-même sera située dans un plan parallèle au plan du cercle.

olO. Après avoir étudié la formule de M. O. Bonnet, nous dirons quelques mots de celle de M. Laguerre. Si l'on rapporte la surface au système de coordonnées formé par les lignes de courbure, elle prend la forme

coscT do sincT /a o ^^ \ » ^^ ^"' •> 2^^ du- dv

^Pl^

dW du di'-

du ds^

W en résulte que le produit du premier membre par ds^ demeure

396 LIVRE V. — Cil A P. III.

constant lorsqu'on passe de la surface à l'une quelconque des surfaces parallèles; il suffit, en effet, pour effectuer ce changement, d'augmenter R et R' d'une même constante, sans changer q et/?,.

Si l'on applique la formule à une section normale de la surface, on a

TiT = o.

et le premier membre se réduit à - — y Il suit de là que l'équation différentielle du premier ordre et du troisième degré

(1 1) q^ —~ aiû -- ôq^ —- du- dv -\- 3/?? du dv- -~ o? «p* = o

^ ' -^ du ^ ôv ^^ Ou ' ^ Ov

définit les courbes tracées sur la surface, et pour lesquelles la section normale de la surface tangente à la courbe en un quelconque de ses points est surosculée par un cercle.

Ces lignes ont été considérées en premier lieu par M. de la Gournerie ('). Il résulte de leur équation différentielle qu'elles se conservent lorsqu'on passe d'une surface à la surface parallèle. Cette remarque aété faite par M. Ribaucour (-). On les détermine aisément dans les surfaces du second degré; elles se réduisent alors aux deux systèmes de génératrices rectilignes et aux courbes sur lesquelles la courbure totale de la surface demeure constante. On peut rattacher leur théorie à celle du contact d'une surface avec un cvlindre de révolution. Mais cette étude trouvera place ailleurs.

51 1. La formule de M. Laguerre permet de résoudre une question très intéressante, sur laquelle M. Bonnet a, le premier, appelé l'attention.

Considérons une courbe (C) tracée sur une surface et supposons

(') De la Gournerie, Etude sur la courbure des surfaces {Journal de Liouville, I" série, t. XX, p. 1^5; i855).

(") Ribaucour, Propriétés de lignes tracées sur les surfaces {Comptes rendus, t. LXXX, p. 642; 1875).