COURBURE NORMALE ET TORSION GÉODÉSIQUE

qu'elle soit tangente en un de ses points M à une des lignes asyinptoliques qui passent en M. Alors nous avons

et, par conséquent, si cosra est différent de zéro, c'est-à-dire si le plan osculateur ne coïncide pas avec le plan tangent à la surface, 0 est infini. C'est ce qui arrive, par exemple, pour une section plane dont le plan passe par une des tangentes asymplotiques et ne se confond pas avec le plan tangent.

Mais, si le plan osculateur de la courbe se confond avec le plan tangent à la surface, on a

COSCJ = G,

et s peut avoir une valeur quelconque. La construction géométrique que l'on déduit du théorème de Meusnier tombe également en défaut, et conduit aussi à une indétermination.

M. Bonnet, à qui l'on doit la remarque précédente, a donné pour ce cas spécial une formule que l'on peut rattacher aisément à celle qui a été démontrée par M. Laguerre.

Désignons par -> - la torsion et la courbure de la courbe considérée, par —, — les mêmes quantités relatives à la ligne asvmpto-

tique tangente. Nous avons vu (n"* 492 et 493) que les deux fonctions

T ds p* ds ? .~ « * /

ont les mêmes valeurs si on les calcule successivement pour deux courbes tangentes au même point. Ici l'angle ra est égal à un quadrant aussi bien pour la courbe considérée^ que pour la ligne

asymptotique; mais-^, qui est nul en chaque point de la ligne

asvmptotique, n'est pas nul nécessairement pour la courbe considérée. On a donc

I <^nj __ I

1 *: ds Zo (12)

dm\ 9.

d OU, en éliminant -y-?

"^ '^0 '^oPo

Cette équation fera connaître p quand t sera donné.

Supposons, par exemple, que nous voulions déterminer le rayon de courbure de la section par le plan tangent. Cette section a deux branches passant au point de contact. On aura, pour chacune d'elles,

et, par conséquent (* ),

Mais^ pour que les formules précédentes soient réellement utiles, il faut qu'on puisse déterminer pQ et Tq. Voici comment on y parvient.

512. Dans le cas d'une ligne asymptolique, on a, d'après la formule (22) [p. 35^],

I p du -T- pi dv a du -^ Oa dv .

= 7-i cosco 4- ~ ~ sinw.

To ds ds

D'ailleurs, l'équation différentielle d'une ligne asvmptotique nous donne

p du -¥- px dv . q du -h q\ dv

, sin w — -^î cos w = o.

ds ds

Ces deux relations peuvent être remplacées par les suivantes :

/ pdu-^pidv cosw

1 ds To

] q du -^- qxdv sin to

\ ds Tq '

En remplaçant c/^sinw, ds cosw parleurs expressions (5) [p. 363]

(') Cette élégante relation est due à M. Beltrami qui l'a donnée dans un article Sur la courbure de quelques lignes tracées sur une surface, inséré en i865 aux Nouvelles Annales de Mathématiques (2" série, t. IV, p. 258).

COCRBCRE NORMALE ET TORSION GÉODÉSIQUE. 3çfg

en fonction de du, dv, on trouvera

. / A ces m \ , / Ccos/i\ ,

i ( /) -i ;: )du^(pi-, dv = o,

\ / Asin/n\ , . C sinn \ .

f ( 5^ ^ 1 rf« -4- ( ^1 -i -^ jdv = o

ou, en éliminant -r- ■> dv

iP9t — 9Pi)'^l -+■ ^C sina = o.

En introduisant, d'après la formule (i4 ) [p. 364], le produit des rayons de courbure principaux, on obtient

(i6) -To = = /- RR',

expression remarquable de la torsion due à M. Enneper. On en déduit, en particulier, que les lignes asymptotiques des surfaces à courbure totale constante sont des courbes gauches dont la torsion est invariable.

Si Ion porte l'expression de t^ dans la formule (^i3), elle deviendra

RR'

Cette formule, due à M. O. Bonnet ('), comprend implicitement celle de M. Enneper; car il suffît d'y faire p ^ So pour retrouver l'expression de la torsion d'une ligne asymptotique.

ol3. Il nous reste à déterminer Oo- Ici encore, la formule a été donnée par M. Bonnet.

Prenons le système de coordonnées formé par les lignes de courbure. La direction des lignes asvmpto tiques sera déflnie par

l'équation

sin*ti> cos-co -R^---R-=^'

(') Nouvelles Annales de Mathématiques (2* série, t. IV, p. 267; iS65).

qui donne

(i8) cosw

tango) = r:

les radicaux ayant partout le même signe. La formule (i8) [p. 354] nous donnera

doi -+- r du -T- ri dv

et, par conséquent,

I ùiù du diù dv du dv

Po au ds dv ds ds ds

OU, en remplaçant -r-» -p par leurs expressions en fonction de to,

ds ds

I cosco ÔM sinto dw r

>\ ■ \ ou Ci dp A L

Or on déduit des formules du n° 500

R du