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Une application importante montre tout lintérêt que peuvent présenter des recherches de la nature de celle que nous venons d'exposer. L'illustre Lamé s'était proposé, dans ses études de Physique mathématique, de déterminer tous les svstèmes triples à la fois orthogonaux et isothermes, et la solution qu'il avait donnée de cette importante et très difficile question ne laissait pas de présenter des longueurs et même des difficultés. Dans un Mémoire déjà ancien («), M. Bonnet a montré que toutes les surfaces faisant partie d'un système à la fois orthogonal et isotherme doivent jouir delà propriété suivante : Sur chaque ligne de courbure le rayon principal correspondant à cette ligne est proportionnel au cube de l'autre rayon. En d'autres termes, on doit avoir

et, par conséquent, M. O. Bonnet a pu déduire de sa formule que les lignes asymptotiques de chacune de ces surfaces doivent avoir un rayon de courbure infini, c'est-à-dire doivent se réduire à des droites. Les surfaces qui composent le système doivent donc être nécessairement du second desfré.

(') O. Bonnet, Mémoire sur la théorie des sur/aces isothermes orthogonales {Journal de l'École Polytechnique, XXX« Cahier, p. i4i; 1845 ).