CHAPITRE lY

Formes diverses de l'équation différentielle des lignes géodésiques. — Les lignes de longueur nulle de la surface satisfont à cette équation différentielle. — Ligne géodésique passant par deux points suffisamment voisins. — Théorème de Gauss relatif aux lignes géodésiques qui passent par un point de la surface.

— Plus court chemin entre deux points suffisamment voisins. — Géodésiques normales à une courbe quelconque. — Second théorème de Gauss; extension de la définition des courbes parallèles dans le plan. — Trajectoires orthogonales d'une famille quelconque de géodésiques; elles se déterminent par une simple quadrature. — Variation de longueur d'un segment de ligne géodésique.

— Système orthogonal formé de deux familles d'ellipses et d'h3^perboles géodésiques. — Théorème de M. Weingarten. — Coordonnées bipolaires dans le plan et sur la sphère. — Théorème de M. Liouville relatif à deux familles de lignes géodésiques qui se coupent mutuellement sous des angles constants.

514. Il nous reste maintenant à entreprendre l'étude de la formule

( i) — = d(x> -t- /■ du -4- i\ dv,

Pé-

qui donne le rayon de courbure géodésique po- d'une courbe quelconque tracée sur la surface. Cette formule se distingue des précédentes par une propriété essentielle, que nous avons déjà signalée : les quantités qui y figurent dépendent exclusivement delà forme de l'élément linéaire; et, par suite, la courbure géodésique demeure invariable quand on déforme la surface d'une manière quelconque. Nous commencerons par étudier les lignes géodésiques. Leur équation différentielle

(2^ d(M -H r du -+- Ti dv = o

est du second ordre. On ne sait l'intégrer que dans un petit nombre de cas; néanmoins Gauss, dans son célèbre Mémoire (*),

(*) Gauss, Disquisitiones générales circa superficies curvas {Mémoires de la Société Royale des Sciences de Goettingue, t. VI, i8a8, et Œuvres complètes,

LES LIGNES GÉODÉSIQDES.

et les géomètres qui l'ont suivi ont enrichi la théorie des lignes géodésiqiies d'un grand nombre de propositions intéressantes que nous allons tout d'abord développer.

Nous indiquerons en premier lieu différentes formes de l'équation différentielle. Si nous conservons toutes les notations du Chapitre I [p. 348], nous aurons

(3) cos ta ds = ^ du — ^-i (h; slna} ds = r, du — T,idi>

et, par suite, (4)

T, du ^-r.dv to = arc lan^ ^—- î î

^ \du — lidv

Les formules (A) (n® 484) nous donnent

■i. ôv

'du ''du

1 dE

2 dv

àr.

2 du '^ dv ~^ Ov 1 Ou Ov ^' dv ^ dv *

A désignant toujours le déterminant

Si l'on porte les valeurs de w, /•, /•, dans l'équation (s».) et si l'on développe les calculs en tenant compte des relations

(7) ^^-^^=E. il-r,r,= F,

on obtiendra l'équation suivante :

f ■i{EG—Fi){dud^v — dvd^u) .àE du ÔE

\ àv du du

^ du

2 E - — ) du- dv

Ou '

^dF r^dE\ , ,

2F -r >.G— )dudv'

dv dv /

dv Oi

)dv^

t. IV, p. 217). Le Mémoire de Gauss a élé souvent reproduit. On le trouve, en particulier, dans l'édition que M. Liouville a donnée en i85o de V Application de l'Analyse à la Géométrie, par Moxge.

4o4 LIVUE V. — CIIAP. IV.

qui caractérise les lignes géodésiques et ne contient que les quantités E, F, G.

515. Si l'on adopte l'arc s de la ligne géodésique comme variable indépendante, on peut substituer à l'équation précédente deux équations différentielles qui définiront u et ç en fonction de s. On déduit, par exemple, delà première formule (3)

^ du -h lidv

CD = arc cos

Choisissons le système de translations pour lequel on a (9) ^1 = 0,

il faudra prendre

v/EG — F2

La substitution des valeurs de r, /'i, w dans la formule (2) per-

mettra de calculer -7-^ et nous donnera la première des deux

ds^

équations suivantes

d'' Il ds^

(II

dF du

dE Ou

dE\ du^ dv / ds^

dE du

dG du

d^v ds^

dE \ du dv

J7/ ds^

F^ + G^ dv du

„ ()F \ dv"'

(^E ^F\ du^

dv du) ds^

-, dG\ du dv du / ds'''

' dE

dv du / ds-

qui se déduisent l'une de l'autre par l'échange de u et de v^ de E et de G. Pour déterminer complètement u et v en fonction de s^ il faudra leur adjoindre la relation

„ du'^ „ du dv

T7 du^ ^ds^

ds'^

rdv^ ^di^

qui sert de définition à la variable auxiliaire s.

On peut remplacer les deux équations (ii) par les suivantes :

Edu-T-Fdv\ dE dii^ ôV diidv dG dv-

, ds j Ou ds- ' du ds- ' du ds- '

^'^^ ■ d /Fdu — Gdv\ ôE du-^ d¥ diidv dG dvi

(d / t du — (j di> "^Tsy ds )

dv ds- ' d\> ds- di> ds-

qui sont d'une forme plus élégante, mais ne sont pas résolues par rapport aux dérivées secondes.

ol6. Les différentes équations que nous venons d'obtenir mettent en évidence une propriété fondamentale des lignes géodésiques que l'on peut énoncer comme il suit :

Etant donnée une ligne géodésiqiie et deux points quelconques A, h pris sur cette ligne, la variation première de l'arc de la géodésique compris entre ces deux points est nulle quand on passe de cette géodésique à toute autre ligne infiniment voisine ayant les mêmes extrémités ; et, réciproquement , toute ligne jouissant de cette propriété est une géodésique.

Considérons, en effet, une ligne quelconque comprise entre les points A et B et définie par l'équation

son arc sera donné par la formule

aFf'-r- Gc'* du,

r' désignant la dérivée de v par rapport à u. Si l'on veut que la variation première de l'arc soit nulle, on aura, en appliquant les principes du calcul des variations, l'équation différentielle

dE^ dF ,^ dG ,j A. ( Gt>'-HF 'dv ~'^'dv^ ' 'dv^'

-* du \^E-^i¥v'-^Gv'-^j iy/E^i¥v'-\-Gv''i "" "'

Si l'on développe les calculs, on retrouve l'équation (8). La proposition est donc établie.

Mais on peut aussi choisir l'arc s comme variable indépendante; alors l'équation (i4) prend immédiatement et sans calcul la forme

4o6 LIVHE V.

de la seconde équation (i3). La première de ces deux équations se déduisant de la seconde par Téchange de u et de p, on peut considérer comme démontré le système (i3), système que l'on

pourra ensuite résoudre par rapport aux dérivées secondes ^, ■T-j? ce qui donnera les équations (i i).

517. Les calculs de vérification que nous venons d'indiquer conduisent à une conséquence intéressante. Reprenons, par exemple, l'équation (i4).'où nous regarderons u comme variable indépendante. En la développant, on lui donnera d'abord la forme suivante :

On reconnaît ainsi immédiatement que les lignes de longueur nulle de la surface, qui sont définies par V équation

E -H2Fp'-t-G(''2 = o,

satisfont à l'équation différentielle des lignes géodésiques.

Il est aisé, en effet, d'établir directement que ces lignes sont de véritables lignes géodésiques et que leur plan osculateur est, en chaque point, normal à la surface. Il suffit de remarquer que le plan osculateur de toute ligne de longueur nulle est tangent au cercle de l'infini et, par conséquent, normal à la tangente. Si donc une ligne de longueur nulle est tracée sur une surface, son plan osculateur en chaque point, étant normal à la tangente en ce point, contient nécessairement la normale à la surface.

On peut d'ailleurs vérifier autrement la propriété que nous venons d'établir. Si l'on suppose que la surface est rapportée à ses lignes de longueur nulle, on aura

l'équation (8) prendra donc la forme particulièrement simple

( 1 5) Y (du d^ V — dv d"- u ) — dv du ( — du — -- dv ] = o.

\<Ju ov j

On reconnaîl ainsi que toutes les lignes coordonnées, définies par Tune ou l'autre des deux équations

dv = o ou du = o,

satisfont à l'équation diflerentielle des lignes géodésiques (*).

518. Les équations de différentes formes que nous venons d'obtenir pour les lignes géodésiques mettent en évidence un fait essentiel, sur lequel on s'appuie à chaque instant dans la théorie : c'est que, par un point quelconque de la surface, il ne passe qu'une ligne géodésique admettant pour tangente en ce point une tangente déterminée de la surface. En d'autres termes, une ligne géodésique est pleinement déterminée par la condition de passer en un point de la surface et d'y admettre une tangente donnée.

Si, au contraire, on veut assujettir une ligne géodésique à passer par deux points, il est aisé de reconnaître que ce problème peut avoir une infinité de solutions, alors même que les deux points seraient très rapprochés. Supposons, par exemple, que la surface donnée soit un cylindre de révolution ; les lignes géodésiques seront des hélices. On reconnaîtra aisément que, si 1 on prend sur le cylindre deux points M et M', quelque voisins qu'ils soient, il y a une infinité de lignes géodésiques passant par ces deux points. Ces hélices se distinguent les unes des autres parle nombre de tours que fait sur chacune d'elles un point partant de

(') Les lignes de longueur nulle se distinguent toutefois des autres géodésiques par une propriété qu'il est bon de signaler. La variation première de l'arc, quand on passe d'une telle ligne à la courbe infiniment voisine, se présente sous une forme indéterminée. Cela lient à ce que l'arc de toute ligne infiniment voisine

d'une ligne de longueur nulle est un infiniment petit de l'ordre -• Soit, en effet,

une ligne de longueur nulle. Pour toute ligne infiniment voisine définie par

l'équation

où e est une quantité infiniment petite, on aura

= vi/v

2 F s\M; du.

4o8 LIVRE V. — CHAP. IV.

M avant d'arriver en M', et par le sens dans lequel s'effectue ce mouvement.

Mais, quelle que soit la surface considérée, on peut déterminer une grandeur / telle que, si l'on prend sur chaque ligne géodésique passant par M, et à partir de M, une longueur ). égale ou inférieure à /, il ne passera par le point M et par l'extrémité de cette longueur aucune autre ligne géodésique dont la longueur soit inférieure à /. Celte proposition n'est pas absolument évidente, mais on peut l'établir rigoureusement de la manière suivante.

Nous avons vu que les coordonnées u et v d'un point de la ligne géodésique sont définies en fonction de s par les équations (i i), qui sont de la forme suivante : i

d^a / du\^ 7 du dv l dv\-

ds'^ \ds ) ds ds ' \ds J '

d-v , / du'Y du dv , / c? p \ 2

ds^ \ ds / ds ds \ds / '

«, b, a', ... étant des fonctions données de u et de ç. Si l'on veut étudier l'ensemble des lignes géodésiques passant par un point M de coordonnées Uq, v^, les équations différentielles donneront pour u et V des fonctions de l'arc s compté à partir de M et

des valeurs initiales u^^ Çq, \ -J~) ' ( y" ) relatives à ce point. Remarquons d'ailleurs que les équations différentielles précédentes ne changent pas de forme quand on y remplace s par y. s, a désignant une constante quelconque. Il faudra donc que les valeurs de u et

de p ne changent pas quand on remplace 5, ( ->- ) ? ( t ) respecti-

i f du\ i f dv\ f^ -. . T

vement par a^, "" ( j~ ) ' ^ ( j" ) • Cela ne peut avoir lieu que si m,

V dépendent, en même temps que de ;^oj ^O) des seules variables

' du 'i , f dv\

ds y 0 \ ^^ 1 0

On aura donc

u = f{u\v\ «0. t'o), V = o(u', V', Mo, Vo).

Si les coefficients E, F, G et, par suite, les fonctions a, b, a', ... sont dévcloppables suivant les puissances entières de u — ■ u^), V — (^0) les fonctions y et cp seront dévcloppables suivant

LES LIGNES GÉODÉSIQUES. 4o9

les puissances de u' et de v' \ et l'on aura des séries de la forme suivante :

u — «0= w'-^ *«'- — 2a'itV-^ T.' v'^-^ . . ..

où les coefficients a, ^, ... seront des fonctions de Mo, ^\i et qui seront convergentes pour toutes les valeurs de «', v' dont le module sera inférieur à une quantité fixe. Le déterminant fonctionnel

étant égal à i pour m'=p'=o, les équations précédentes pourront être résolues par rapport à u', v' et donneront pour ces quantités des séries ordonnées suivant les puissances de m — iia^ V — t'o» séries qui demeureront convergentes tant que les modules de ces deux différences demeureront inférieurs à une quantité fixe. En d'autres termes, il ne passera par le point M et par un point suffisamment voisin M' qu'une ligne géodésique pour laquelle u' et v' soient inférieurs à une quantité fixe, c'est-à-dire dont la longueur soit inférieure à une quantité donnée ('). C'est la proposition que nous voulions établir. On peut encore l'énoncer en disant qu'on peut délimiter une région entourant le point M et telle que, par un point quelconque de cette région et par le point M, il ne passe qu'une seule ligne géodésique tout entière comprise dans la région (-).

( ' ) Comme oa a

E^, F-, Go désignant les valeurs de E, F, G au point M, on obtient, en multipliant par s^, la relation

qui montre que, si m', v' sont inférieures à une quantité fixe, il en sera de même de s.

(^) Les variables m', v' sont celles auxquelles M. Lipschitz, dans des recherches plus générales, a donné le nom de variablex normales. [ Voir, en particulier, le Bulletin des Sciences mathématiques (i" série, t. IV, p. 97-110)].

[UFÎ7ERSIT

4lO LIVRE V. — CHAP. IV.

519. 11 résulte de celte proposition que, si l'on détermine chaque point de la région précédente par la longueur u de la ligne géodésique qui joint ce point au point M et par l'angle v que fait en M cette ligne géodésique avec une des tangentes en ce point à la surface, on aura constitué un s^'stème de coordonnées tout à fait analogue au système de coordonnées polaires dans le plan et dans lequel, à chaque point de la surface, correspondra un seul système de valeurs de u et de c, si l'on convient, par exemple, do prendre u positif et v compris entre o et ir^. L'élément linéaire de la surface sera donné par la formule

ds^ = c?a2 -^--tY dudv ;- G dv"-, dans laquelle E est égal à i . On aura évidemment

F = o, G = o pour u = o.

Cela posé, exprimons que les lignes ç = const. sont des géodé-

siques. Si l'on emploie, par exemple, l'équation (8), on aura, en

annulant dv et d'-v, la condition

d¥ Ja==«'

F ne peut donc dépendre que de la seule variable v\ et, comme on a F = o pour m = o, F sera identiquement nul. Par suite, l'élément linéaire de la surface prendra la forme simple

(17) ds^ ^du^-r-Qdv^.

520. On peut encore établir le même résultat en adoptant la forme de l'élément linéaire étudiée au Chapitre II [p. 862]. On

aura ici

ds^ = du^ -i- 2 G cos a du dv -^ G^ dv-.

Remarquons d'ailleurs que, l'arc C dv compris entre deux lignes géodésiques infiniment voisines devant diminuer indéfiniment quand u tend vers zéro, il faudra que l'on ait C = o pour u = o, quel que soit ç.

Cela posé, exprimons que les lignes (^ =: const. sont géodésiques. En appliquant la formule (2) et remarquant qu'ici to est

LES LIGNES GÉODÉSIQUBS. 4> I

égal à /?;, on a

ou, en remplaçant /' par sa valeur déduite des formules (A')

(nM9o)

dx cota dQ <?(Ccosa)

du ' Ç. du ' du

Ainsi C cosa doit être une fonction de v

(i8) Ccosa = o(i;).

Mais, comme C est nul, quel que soit i', pour u -^^ o, il faut nécessairement que l'on ait

L'équation précédente nous donne, pour une valeur quelconque

de w,

G cosa = o et, par suite,

cosa = o.

Nous retrouvons ainsi la forme déjà donnée (19) ds- = du- — G- i/^•-

de l'élément linéaire de la surface.

o21. Cette forme est d'une importance capitale. Elle va nous permettre de démontrer que le chemin le plus court entre deux points suffisamment rapprochés d'une surface est toujours une ligne géodésique.

En effet, sur la portion de surface que nous avons définie plus haut et qui peut être considérée comme engendrée par une ligne géodésique de longueur / tournant autour de son extrémité M, prenons un point quelconque M' de coordonnées Uq, v^; i/q sera la longueur de la ligne géodésique qui passe par M et M'. Si nous considérons tout autre chemin réunissant ces deux points et compris entièrement dans la portion de surface considérée, la longueur de ce chemin sera exprimée par l'intégrale

^ du- -r- G- dv-.

4l2 LIVRE V. — ClIAP. IV.

Or cette intégrale est évidemment supérieure à

du.

Donc le chemin est supérieur à Uq.

Si le chemin sort de la portion de surface que nous venons de définir, il faudra qu'il aille d'abord de M en un point p. de la limite. Le chemin Miji, étant au moins égal à / d'après la démonstration précédente, sera déjà supérieur à ?^o î il en sera donc de même a fortiori du chemin total.

On peut encore présenter le raisonnement précédent sous une forme géométrique. Construisons autour du point M les courbes u = const. qui offriront autour de ce point la disposition générale d'une série de cercles concentriques autour de leur centre dans le plan. Considérons deux courbes infiniment voisines; l'arc d'une ligne quelconque compris entre ces deux courbes sera

\/du^ -+- G2"^ ;

sa valeur minimum sera donc du et elle correspondra au cas où l'on suit, pour aller de l'une à l'autre courbe, une géodésique normale. Le plus court chemin de M à M' est donc nécessairement la géodésique qui passe par ces deux points.

522. On peut généraliser comme il suit la proposition obtenue au n" 520.

Etant donnée {/ig. 82) une courbe quelconque AA', construisons les géodésiques normales à cette courbe. Nous définirons un point quelconque de la surface dans le voisinage de AA' par l'arc V = AV qui détermine le pied de la géodésique passant par le point M et par la longueur u = MP comptée à partir de P sur cette géodésique. Tant que u sera inférieur à une limite fixe, un point n'aura qu'un seul système de coordonnées ('). Il suffit, en

(') On peut démontrer cette proposition en toute rigueur; il suffit de s'appu}'er sur les résultats obtenus au n" 518.

Nous avons vu que les valeurs de u et de v, relatives à un point quelconque d'une ligne géodésique passant en un point M de coordonnées «„, v^, sont des

LES LIGNES GÉODÉSIQCES. 4'3

effet, de remarquer que les lignes géodésiques normales à W ne s'entrecroisent pas tant que u est inférieur à une limite que l'on pourra déterminer.

Fie. 32.

On aura encore, en prenant u et t- comme variables, ds- =î du- — 2 C cos 2 du dv — G* rff *,

fondions des quatre variables

fdu

'dv\

Si le point M est pris sur une courbe (C) et si, de plus, la ligne géodésique doit être normale à (C), u^, v^, i-f) ' \'d~l «^c^*^""^"*^ ^^^ fonctions de la variable qui fixe la position de ce point sur la courbe. Désignons celte variable par ff; m et v seront des fonctions de s et de a. Le déterminant fonctionnel

a évidemment pour valeur initiale

du,

rft;.

( — \ , (—) > déterminant la tangente à la ligne géodésique, ne peuvent être \dsj, \dsj, ^^^ ^^

proportionnels à -~ , -p qui définissent la tangente à la courbe (C).

La valeur initiale du déterminant fonctionnel n'étant pas nulle, ce déterminant demeure différent de zéro pour des valeurs suffisamment petites de s. Par conséquent, M et V sont des fonctions indépendantes de 5 et de ? dans la région voisine de la courbe (C), et, réciproquement, 5 et s sont des fonctions indépendantes de u et de V n'admettant qu'une seule détermination dans le voisinage de la courbe (C).

4l4 LIVRE V. — Cil A P. IV.

avec la condition

C cosa = 'f (<^),

qui exprime que les lignes de paramètre ç sont des géodésiques. D'ailleurs, pour u i= o, on a

cosa = o

quel que soit ç. On a donc encore

et, par conséquent, on retrouve pour l'élément linéaire la forme

déjà obtenue

ds'^ =- dii^ -+- C2 dv^-.

Ainsi, lorsqu'on porte sur les lignes géodésiques normales à une courbe des longueurs constantes, le lieu des extrémités de ces longueurs est une courbe également normale aux lignes géodésiques. C'est la généralisation d'un résultat bien connu, relatif aux courbes parallèles dans le plan. Les deux théorèmes précédents sont dus, comme on sait, à Gauss.

523. On peut encore les démontrer de la manière suivante. Considérons sur une portion de la surface une famille de géodésiques telle qu'il ne passe qu'une de ces lignes par chaque point de la région considérée, et associons à ces lignes une autre famille de courbes quelconques qui, jointe à la première, permette de constituer un système de coordonnées propre à déterminer tous les points de la région. L'élément linéaire de la surface sera représenté par une formule telle que la suivante

ds^ = E du^ -i- 2 F du dv -,- G dv'^,

où nous supposerons que les lignes géodésiques soient les courbes de paramètre v. Si l'on se reporte à l'équation (8) et si l'on exprime qu'elle est vérifiée lorsqu'on j introduit l'hypothèse dv^ o, on sera conduit à l'équation de condition

dp ou ou

à laquelle on peut donner la forme suivante :

dy/E d F di> ~ du ^

On peut donc poser

' ou J^ ov au ôv

En substituant les valeurs de E et de F dans l'élément linéaire, on lui donnera la forme suivante :