EG — Y

On voit donc que les courbes définies par l'équation

(22) 6= ll^du- — — «fi' I = const.

sont les trajectoires orthogonales des géodésiques considérées. Ainsi :

On peut toujours, par une simple quadrature, déterminer les trajectoires orthogonales d'une famille quelconque de géodésiques; et, si l'on rapporte les points de la surface au système de coordonnées formé par les géodésiques (f = const.) et leurs trajectoires orthogonales (0= const.), l'élément linéaire prend la forme

(23) ds*-^ d(i*- — Gdv'-.

L'interprétation géométrique est immédiate. Deux trajectoires orthogonales quelconques interceptent le même arc sur toutes les géodésiques considérées. Ces résultats sont en parfait accord avec ceux que nous avons déjà obtenus.

Dans le cas où les lignes géodésiques passent toutes par un point, il y a, évidemment, des trajectoires orthogonales qui, dans une portion de leur parcours vue du point sous un angle fini, restent infiniment voisines de ce point; et, par conséquent, le point lui-même peut être assimilé à une trajectoire orthogonale, ce qui démontre le premier théorème de Gauss.