LIVRE V
CIIAP. IV.
52i. Nous voyons que la considération des lignes géodésiques nous conduit à des systèmes nouveaux pour lesquels on doit faire
dans les formules du n° 499. Remarquons la forme exceptionnellement simple que prend, dans ces systèmes, l'expression de la courbure totale. On a alors, d'après la formule (22) (n° 499),
G àû^
expression qui est due à Gauss et dont nous aurons souvent à faire usage.
Nous donnerons, par analogie, le nom de courbes parallèles aux trajectoires orthogonales d'une famille de géodésiques.
523. On peut déduire des résultats précédents une formule fondamentale relative à la variation de longueur d'un segment de ligne géodésique.
Soit {fig. 33) MP un segment de ligne géodésique dont les
Fis. 33.
extrémités M et P décrivent deux courbes données (C) et (D). Employons le système de coordonnées curvilignes formé par les positions successives MP, M'P', ... du segment et par leurs trajectoires orthogonales. L'élément linéaire, dans ce système, prendra la forme (23); si u, u^ désignent les valeurs de u aux points M et P, on aura
arcMP = 11 — Uq.
De môme, si a + du^ Uq -r cIuq sont les valeurs de u correspondantes aux points M', P', on aura
arcM'P' = u ■+- du — Wq — <^"0)
LES LIGNES GÉODÉSIQCES. 417
ce qui donne
d arcMP = du — du^.
Or, dans les triangles înfîniment petits MM'H, PP'K formés avec les trajectoires orthogonales MH et PK, on a
M' H ^ du = — MM' cos M' M P, KP =rfu^ = pp' cosP'PM
et, par conséquent, la substitution de ces valeurs de </«, du^ conduit au résultat suivant :
. 25) d arcMP = — ->m' cosM'MP — PP' cosP'P
Cette formule est identique à celle qui donne la dilTérentielle d'un segment de droite. Comme il est facile de l'obtenir directement parle calcul des variations, elle pourrait conduire aux propositions de Gauss par un chemin inverse de celui que nous avons suivi.
o26. La formule (aS) permet d'étendre aux lignes géodésiques un grand nombre des propositions qui s'appliquent, dans la géométrie du plan, aux svstèmes de lignes droites. On peut constituer, par exemple, sur toute surface, une théorie analogue à celle des développées et des développantes d'une courbe plane. Nous laisserons au lecteur le soin de poursui\Te ces généralisations, et nous nous attacherons, de préférence, à la conséquence suivante de la formule fondamentale.
Considérons {Jig- 34) deux courbes (C), (C) et cherchons le lieu des points tels que la somme ou la différence de leurs distances géodésiques à ces deux courbes soit constante. Si, dun point M du lieu, on abaisse les normales géodésiques MP, MQ sur les deux courbes, on devra avoir
MP = MQ = const.;
et, par suite, lorsqu'on passera d'an point M du lieu au point infiniment voisin M', il viendra
rfMP = ^MQ =o.
D. — II. vj
4l8 LIVRE V. — CHAP. IV.
La formule (aS) nous donne
dMP = — MM'cosM'MP,
dmq = — MM'cosM'MQ.
En substituant ces valeurs des différentielles dans la relation précédente, on trouvera
cos M' M P -: cos M' M Q = o.
Fig. 34.
Dans le cas où l'on prend le signe 4- et où, par conséquent, la somme des distances est constante, l'équation exprime que la tangente au lieu est la bissectrice de l'angle formé par une ligne géodésique et le prolongement de l'autre. Quand on prend le signe — , c'est-à-dire quand la différence des distances est constante, la tangente est la bissectrice de l'angle formé par les deux normales géodésiques.
En rapprochant ces deux résultats, nous obtenons le théorème suivant :
Si l'on construit sur une surface quelconque toutes les courbes lieux des points pour lesquels la somme ou la différence des distances géodésiques à deux courbes données demeure constante, on obtient dans tous les cas deux familles de courbes se coupant à angle droit.
Nous donnerons, dans la suite, le nom d'ellipses et d'hyperboles géodésiques aux courbes qui composent ces deux familles. Leur définition ne change pas si l'on substitue aux deux courbes de base (C) et (C) des courbes parallèles quelconques. Il faut
LES LIGNES G ÉODÉSIQIES. 419
toutefois remarquer que ce changement peut transformer les ellipses en hyperboles et vice versa.
o27. Nous allons chercher la forme que prend rélément linéaire de la surface quand on adopte le système de coordonnées curvilignes que nous venons de définir; mais nous prendrons comme intermédiaire un système de coordonnées obliques formé avec deux séries de courbes parallèles.
Considérons (Jîg. 35) une première famille de courbes paral-
lèles, que nous définirons par leurs distances ii = AP à l'une d'elles (C), distance comptée sur une géodésique normale. Soit de même une seconde famille de courbes parallèles que nous définirons par leurs distances ç = BQ à l'une d'elles (C).
Construisons les quatre courbes de paramètres a, u -+- du, v, V -\- dv qui formeront un parallélogramme curviligne MXM'N' dont l'angle M sera désigné par a et dont les côtés auront pour valeurs
MN' = kdu. M.\ = G rfp,
A et C étant les quantités qui figurent dans l'expression ds-i = A2 du^ -^ C*- dv^ — -2 AC cos a du dv
de l'élément linéaire. Si l'on mène par le point M les géodésiques MN,, MX', normales aux côtés opposés du parallélogramme, les longueurs de ces géodésiques sont
MNi = dv, mn; = du.
Dans les triangles MNN,, MN'N'^ que l'on peut assimiler à des triangles rectilignes, on aura
MNi = MN sin a, MN'i = MN' sin a, c'est-à-dire
du = A du sin a, dç = G di^ sin a et, par suite,
sin a L'expression de l'élément linéaire sera donc
du^ -f- dv^ -h 1 du dv cos a (26) û?52= —
Si l'on prend maintenant
( 27 ) u-\- V = lu'., U V
nv
les courbes de paramètre a' ^ v' seront les ellipses et les hyperboles géodésiques définies plus haut, et l'expression de l'élément linéaire prend la forme
du'^ dv'"-
ce OC
sin^ - cos^-
qui met en évidence l'orthogonalité déjà démontrée.
528. M. Weingarten, auquel est dû le résultat précédent (*), l'a établi par une autre méthode, que nous allons indiquer. Soit
ds"^ = Edu^--^iF du dv -\- G dv^
l'expression de l'élément linéaire. Puisque u désigne la distance géodésique à une courbe (G), l'élément linéaire pourra se mettre sous la forme
c/52 = du'^ -r- C72 <i«'2.
Il faudra donc que la différence
ds"- — dW^ = (E — i) du^ -\- iF du dv -^ G dv^-
(') Weingarten (J.), Ueber die Oberjlàchen fiir welche einer der beiden HauptkrLimmungshalbmesser eine Fuiiction der anderen ist {Journal de Crelle, t. LXII, p. iGo-iyS; 1862).
LES LIGNES GÉOOÉSIQCES. 4^»»
soit un carré parfait. Cela nous donne la condition
Fî = G(E — i).
En exprimant de même que v est la distance géodésique à une seconde courbe, on obtiendra la condition
Fi = E(G — I).
Ces deux relations, employées simultanément, nous donnent E = G. F = v/E(E — i-, et l'élément linéaire prend la forme
(29) ds- = E(du- — dv^) -4- ay/Ei^E — i) du dv.
En remplaçant E par . ^ > on retrouve la formule que nous avons démontrée directement par la Géométrie.
529. La fonction a qui figure dans cette formule dépend de la nature de la surface, ainsi que des courbes de base (C), (C), et ne peut pas être déterminée en général. Nous allons indiquer deux applications dans lesquelles on obtient sans difficulté l'expression de a.
Considérons d'abord les coordonnées bipolaires dans un plan. Si l'on appelle r, /•' les dislances d'un point du plan à deux points fixes, la formule (26) nous donnera
,„ . ,. dr- — dr- -^ idr dr' cosj.
(30) ds^= .—
Soient O, O' les deux pôles et M le point considéré. Désignons par 2C la distance des deux pôles. Le triangle OO'M nous donnera
(3i) 4c- = /•- — r'- -r- 2/t' cosa,
équation d'où nous pourrons tirer a. Mais auparavant remarquons que, si l'on pose
( r -T- r' = 2 II,
l'expression de l'élément linéaire deviendra
(33) ds^=^^-^^^,
. „ oc „ a
sin^ - cos- -
et l'on déduira de la formule (3i) l'équation
(34) c2 = a2cos2 - -i-v2sin2 -,
qui fera connaître les valeurs de sin -? cos -• En les portant dans la formule (33), nous aurons
Les courbes [jl = const. sont des ellipses homofocales, les courbes v = const. des hyperboles ayant les mêmes foyers. On voit ainsi que le système des coordonnées elliptiques n'est qu'une modification, et une modification avantageuse, du système des coordonnées bipolaires. Gela explique pourquoi ce dernier système est si rarement employé.
Si Ton prenait de même sur la sphère le système de coordonnées bipolaires en désignant toujours par ac Ja distance des pôles, il faudrait substituer à l'équation (3i) la suivante
(36) C0S2C = cosr cos/"' — sin/- sinr' cos a,
que donne immédiatement le triangle sphérique OO'M. On peut
l'écrire
C0S2C = C0S2U C0S2 \- C0S2V Slll^ - ,
et, par conséquent, on aura pour la sphère
d]iP- d'i
(37) ds"^ = {C0'è'i.\l. — C0S2v)
Les courbes coordonnées sont des ellipses et des hyperboles homofocales.
o30. Après ces applications particulières, nous signalerons, comme conséquence générale de la formule (8) relative aune surface quelconque, cette proposition due à M. Liouville : Si l'on a
sur une surface deux systèmes de lignes géodésiques se coupant sous un angle constant, la surface sera plane ou déieloppable. En effet, si nous construisons les courbes parallèles trajectoires orthogonales de ces géodésiques, elles se couperont, elles aussi, sous un angle constant et, par conséquent, l'élément linéaire de la surface pourra être mis sous la forme (26) ou mieux sous la forme (28), l'angle a étant constant. Posons alors
u = X sm -:
V — y cos - :
il restera
ds- = dx- — dj^-,
ce qui montre bien que la surface est applicable sur le plan.
