DÉFINITIONS

1 . — Rappelons d'abord quelques définitions relatives à la mesure des grandeurs ; pour fixer les idées, nous raisonnerons toujours en prenant comme exemples des segments de droite.

Sur une droite indéfinie X'X, considérons un segment OA, qu'il s'agit de mesurer avec un segment BC, choisi pour unité de longueur.

O aj «^ A^ a^ A a,

Fig. I.

Portons la longueur BG un nombre quelconque de fois,, à partir du point 0, sur la demi-droite OX, et soient a,, a^, ..., a„, ... les points que l'on obtient après avoir porté une fois, deux fois, ..., /?. fois, ... la longueur BG. Si le point a» coïncide avec le point A, le segment OA est formé de n segments égaux à BG, portés bout à bout sur OX, à partir du point 0. Le

Briot — Leçons d'Algèbre i

nombre entier n est la mesure du segment OA cjuand on prend le segment BG pour unité.

Si le point A ne coïncide avec aucun des points «i, «a» ... a,,,... il est compris entre deux points consécutifs. Dans le cas de la figure, il est compris entre a^ et a.^ ; le segment OA est plus grand que le segment Oag, formé de trois segments égaux à BC, et plus petit que le segment Oa^^ formé de quatre segments égaux à BG. Mais il peut se faire qu'en divisant le segment BG en un certain nombre de segments égaux, q par exemple, le segment OA soit formé de/9 de ces segments portés bout à bout sur OX, à partir du point 0, en marchant vers la droite. On

dit alors que le nombre fractionnaire - est la mesure du segment

OA quand on prend BG pour unité de longueur.

Nous désignerons dans la suite par nombre rationnel tout nombre entier ou fractionnaire. Tout nombre rationnel est de la

forme -, p et q étant deux nombres entiers positifs, q pouvant

être égal à un. Dans les deux cas que nous venons d'examiner, les deux grandeurs OA et BG sont commensurables ; en d'autres termes, il existe alors un troisième segment qui est contenu un nombre exact de fois dans OA et un nombre exact de fois dans BG ; c'est leur commune mesure. Mais il peut aussi arriver qu'il n'existe aucun segment de droite, aussi petit qu'on le suppose, qui soit contenu un nombre exact de fois dans BG et dans OA. On dit alors que les deux grandeurs OA et BG sont incommensurables entre elles ; par exemple, on démontre que la diagonale et le côté d'un carré sont deux longueurs incommensurables entre elles. .'

Si les deux longueurs OA et BG sont incommensurables, il n'existe aucun nombre rationnel, exprimant la mesure du segment OA quand on prend le segment BG pour unité de longueur. Mais on peut déterminer deux segments commensurables avec BC, l'un plus petit, l'autre plus grand que OA, et dont la difl'érence soit aussi petite que l'on veut. Par exemple, n désignant un nombre entier positif^ si l'on divise BG en n segments égaux, si l'on porte comme tout-à-l'heure un nombre quel-

conque de fois un segment égal à -BG sur la demi-droite OX^ à partir du point 0, on obtient une suite de points /3p 5^, 63, ..., le segment OjS„i étant égal à m fois la n' partie du segment BG. Le point A ne peut coïncider avec aucun des points /B^, fi^, ... ; il est donc compris entre deux points consécutifs /3,„ et ^j^.^ ,. Le segment 0 A est plus grand que le segment 0/3,n dont

la mesure est le nombre rationnel , et plus petit que le segment

O^'B,,,^. j dont la mesure est le nombre rationnel ^^^-tJ^ Qn dit que les deux nombres

™ et "-^±2

sont deux valeurs approchées de OA à moins de - , la première par défaut, la seconde par excès.

Si on prend pour n une jouissance de 10, la valeur approchée par défcmt est une fraction décimale et la valeur approchée par excès s'en déduit en augmentant d'une unité la dernière décimale. Quand on considère des puissances de 10 de plus en plus grandes, la valeur approchée par défaut va en croissant (ou plutôt ne décroît jamais); en effet, si 0,7, par exemple, est la valeur approchée par défaut à moins de 0,1, 0,70 est la mesure d'un segment plus petit que A et, par suite, la valeur approchée par défaut à moins de 0,01 est 0,70 ou un nombre plus grand. De même, la valeur approchée par excès va en décroissant (ou du moins ne croît jamais). Si l'expression de la puissance de 10 augmente indéfmiment, le nombre des décimales communes aux deux valeurs approchées augmente lui-même indéfiniment et la différence de ces deux valeurs tend vers zéro.

Dans les calculs que l'on peut avoir à effectuer, on prend

pour mesure du segment OA sa valeur approchée à -- près, par excès ou par défaut, n étant un nombre entier plus ou moins grand suivant le degré d'approximation que l'on veut obtenir dans les résultats (^).

(1) Il est clair que la longueur d'un segment donné physiquement n'est dé-